Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15015 / 14988
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E149.919434°		 ← 358.72 m → S 81.557073°
E149.941406°		 →
↑
358.69 m
↓
↑
358.69 m
↓
S 81.560299°
E149.919434°		 ← 358.59 m →
128 645 m²		 S 81.560299°
E149.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916473388671875 y=0.914825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916473388671875 × 214)
    floor (0.916473388671875 × 16384)
    floor (15015.5)     		tx = 15015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914825439453125 × 214)
    floor (0.914825439453125 × 16384)
    floor (14988.5)     		ty = 14988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15015 / 14988 ti = "14/15015/14988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15015/14988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15015 ÷ 214
    15015 ÷ 16384     		x = 0.91644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14988 ÷ 214
    14988 ÷ 16384     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91644287109375 × 2 - 1) × π
    0.8328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61658773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61658773} λ = 2.61658773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61658773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.919434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15015 KachelY 14988 2.61658773 -1.42343946 149.919434 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 15016 KachelY 14988 2.61697122 -1.42343946 149.941406 -81.557073
    Unten links KachelX 15015 KachelY + 1 14989 2.61658773 -1.42349576 149.919434 -81.560299
    Unten rechts KachelX + 1 15016 KachelY + 1 14989 2.61697122 -1.42349576 149.941406 -81.560299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42349576) × R
    5.63000000000091e-05 × 6371000     		dl = 358.687300000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42349576) × R
    5.63000000000091e-05 × 6371000     		dr = 358.687300000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61658773-2.61697122) × cos(-1.42343946) × R
    0.000383489999999931 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 358.722958874101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61658773-2.61697122) × cos(-1.42349576) × R
    0.000383489999999931 × 0.146768469762199 × 6371000     		du = 358.586896028607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42349576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146768469762199)×R²
    abs(2.61697122-2.61658773)×5.56900875235133e-05×R²
    0.000383489999999931×5.56900875235133e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.56900875235133e-05×40589641000000     		ar = 128644.967593684m²