Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15013 / 21394
↖ ↑ ↗
← S 48.122101°
W 15.062256°		 ← 815.50 m → S 48.122101°
W 15.051270°		 →
↑
815.42 m
↓
↑
815.42 m
↓
S 48.129435°
W 15.062256°		 ← 815.38 m →
664 931 m²		 S 48.129435°
W 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458175659179688 y=0.652908325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458175659179688 × 215)
    floor (0.458175659179688 × 32768)
    floor (15013.5)     		tx = 15013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652908325195312 × 215)
    floor (0.652908325195312 × 32768)
    floor (21394.5)     		ty = 21394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15013 / 21394 ti = "15/15013/21394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15013/21394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15013 ÷ 215
    15013 ÷ 32768     		x = 0.458160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21394 ÷ 215
    21394 ÷ 32768     		y = 0.65289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.08367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26288596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960655468385925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26288596} λ = -0.26288596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960655468385925))-π/2
    2×atan(0.382641994028012)-π/2
    2×0.365453610446974-π/2
    0.730907220893948-1.57079632675     		φ = -0.83988911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26288596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.062256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83988911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.122101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15013 KachelY 21394 -0.26288596 -0.83988911 -15.062256 -48.122101
    Oben rechts KachelX + 1 15014 KachelY 21394 -0.26269421 -0.83988911 -15.051270 -48.122101
    Unten links KachelX 15013 KachelY + 1 21395 -0.26288596 -0.84001710 -15.062256 -48.129435
    Unten rechts KachelX + 1 15014 KachelY + 1 21395 -0.26269421 -0.84001710 -15.051270 -48.129435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83988911--0.84001710) × R
    0.000127989999999967 × 6371000     		dl = 815.424289999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83988911--0.84001710) × R
    0.000127989999999967 × 6371000     		dr = 815.424289999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(-0.83988911) × R
    0.000191749999999991 × 0.667545395212953 × 6371000     		do = 815.499655948866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(-0.84001710) × R
    0.000191749999999991 × 0.667450092346371 × 6371000     		du = 815.383230226411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83988911)-sin(-0.84001710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667545395212953-0.667450092346371)×R²
    abs(-0.26269421--0.26288596)×9.53028665825473e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53028665825473e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53028665825473e-05×40589641000000     		ar = 664930.760673334m²