Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15013 / 20686
↖ ↑ ↗
← S 42.666281°
W 15.062256°		 ← 898.29 m → S 42.666281°
W 15.051270°		 →
↑
898.18 m
↓
↑
898.18 m
↓
S 42.674358°
W 15.062256°		 ← 898.17 m →
806 775 m²		 S 42.674358°
W 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458175659179688 y=0.631301879882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458175659179688 × 215)
    floor (0.458175659179688 × 32768)
    floor (15013.5)     		tx = 15013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631301879882812 × 215)
    floor (0.631301879882812 × 32768)
    floor (20686.5)     		ty = 20686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15013 / 20686 ti = "15/15013/20686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15013/20686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15013 ÷ 215
    15013 ÷ 32768     		x = 0.458160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20686 ÷ 215
    20686 ÷ 32768     		y = 0.63128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.08367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26288596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.2625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824898168661926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26288596} λ = -0.26288596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824898168661926))-π/2
    2×atan(0.438279620792865)-π/2
    2×0.413064624459262-π/2
    0.826129248918524-1.57079632675     		φ = -0.74466708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26288596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.062256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74466708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.666281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15013 KachelY 20686 -0.26288596 -0.74466708 -15.062256 -42.666281
    Oben rechts KachelX + 1 15014 KachelY 20686 -0.26269421 -0.74466708 -15.051270 -42.666281
    Unten links KachelX 15013 KachelY + 1 20687 -0.26288596 -0.74480806 -15.062256 -42.674358
    Unten rechts KachelX + 1 15014 KachelY + 1 20687 -0.26269421 -0.74480806 -15.051270 -42.674358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74466708--0.74480806) × R
    0.000140979999999957 × 6371000     		dl = 898.183579999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74466708--0.74480806) × R
    0.000140979999999957 × 6371000     		dr = 898.183579999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(-0.74466708) × R
    0.000191749999999991 × 0.735313572015308 × 6371000     		do = 898.287920631558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(-0.74480806) × R
    0.000191749999999991 × 0.735218018749168 × 6371000     		du = 898.171189011175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74466708)-sin(-0.74480806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735313572015308-0.735218018749168)×R²
    abs(-0.26269421--0.26288596)×9.55532661404135e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55532661404135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55532661404135e-05×40589641000000     		ar = 806775.038546977m²