Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15013 / 14990
↖ ↑ ↗
← S 81.563523°
E149.875488°		 ← 358.45 m → S 81.563523°
E149.897461°		 →
↑
358.37 m
↓
↑
358.37 m
↓
S 81.566746°
E149.875488°		 ← 358.31 m →
128 433 m²		 S 81.566746°
E149.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916351318359375 y=0.914947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916351318359375 × 214)
    floor (0.916351318359375 × 16384)
    floor (15013.5)     		tx = 15013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914947509765625 × 214)
    floor (0.914947509765625 × 16384)
    floor (14990.5)     		ty = 14990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15013 / 14990 ti = "14/15013/14990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15013/14990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15013 ÷ 214
    15013 ÷ 16384     		x = 0.91632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14990 ÷ 214
    14990 ÷ 16384     		y = 0.9149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91632080078125 × 2 - 1) × π
    0.8326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61582074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60700034893713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61582074} λ = 2.61582074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60700034893713))-π/2
    2×atan(0.0737554528949262)-π/2
    2×0.0736221477751483-π/2
    0.147244295550297-1.57079632675     		φ = -1.42355203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61582074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42355203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15013 KachelY 14990 2.61582074 -1.42355203 149.875488 -81.563523
    Oben rechts KachelX + 1 15014 KachelY 14990 2.61620423 -1.42355203 149.897461 -81.563523
    Unten links KachelX 15013 KachelY + 1 14991 2.61582074 -1.42360828 149.875488 -81.566746
    Unten rechts KachelX + 1 15014 KachelY + 1 14991 2.61620423 -1.42360828 149.897461 -81.566746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42355203--1.42360828) × R
    5.62500000000909e-05 × 6371000     		dl = 358.368750000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42355203--1.42360828) × R
    5.62500000000909e-05 × 6371000     		dr = 358.368750000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61582074-2.61620423) × cos(-1.42355203) × R
    0.000383489999999931 × 0.146712808884839 × 6371000     		do = 358.450904549816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61582074-2.61620423) × cos(-1.42360828) × R
    0.000383489999999931 × 0.146657167326687 × 6371000     		du = 358.314960272003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42355203)-sin(-1.42360828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146712808884839-0.146657167326687)×R²
    abs(2.61620423-2.61582074)×5.56415581511871e-05×R²
    0.000383489999999931×5.56415581511871e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.56415581511871e-05×40589641000000     		ar = 128433.243543009m²