Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15013 / 10438
↖ ↑ ↗
← N 54.533832°
W 15.062256°		 ← 708.82 m → N 54.533832°
W 15.051270°		 →
↑
708.84 m
↓
↑
708.84 m
↓
N 54.527458°
W 15.062256°		 ← 708.93 m →
502 479 m²		 N 54.527458°
W 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458175659179688 y=0.318557739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458175659179688 × 215)
    floor (0.458175659179688 × 32768)
    floor (15013.5)     		tx = 15013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318557739257812 × 215)
    floor (0.318557739257812 × 32768)
    floor (10438.5)     		ty = 10438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15013 / 10438 ti = "15/15013/10438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15013/10438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15013 ÷ 215
    15013 ÷ 32768     		x = 0.458160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10438 ÷ 215
    10438 ÷ 32768     		y = 0.31854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.08367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26288596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31854248046875 × 2 - 1) × π
    0.3629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14013122056342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26288596} λ = -0.26288596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14013122056342))-π/2
    2×atan(3.12717868841354)-π/2
    2×1.26129562888537-π/2
    2.52259125777073-1.57079632675     		φ = 0.95179493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26288596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.062256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95179493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.533832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15013 KachelY 10438 -0.26288596 0.95179493 -15.062256 54.533832
    Oben rechts KachelX + 1 15014 KachelY 10438 -0.26269421 0.95179493 -15.051270 54.533832
    Unten links KachelX 15013 KachelY + 1 10439 -0.26288596 0.95168367 -15.062256 54.527458
    Unten rechts KachelX + 1 15014 KachelY + 1 10439 -0.26269421 0.95168367 -15.051270 54.527458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95179493-0.95168367) × R
    0.000111260000000057 × 6371000     		dl = 708.837460000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95179493-0.95168367) × R
    0.000111260000000057 × 6371000     		dr = 708.837460000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(0.95179493) × R
    0.000191749999999991 × 0.58022212933046 × 6371000     		do = 708.822126908631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26288596--0.26269421) × cos(0.95168367) × R
    0.000191749999999991 × 0.580312742366653 × 6371000     		du = 708.932823350206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95179493)-sin(0.95168367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58022212933046-0.580312742366653)×R²
    abs(-0.26269421--0.26288596)×9.06130361925106e-05×R²
    0.000191749999999991×9.06130361925106e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.06130361925106e-05×40589641000000     		ar = 502478.909439863m²