Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15012 / 14905
↖ ↑ ↗
← S 81.285047°
E149.853515°		 ← 370.20 m → S 81.285047°
E149.875488°		 →
↑
370.16 m
↓
↑
370.16 m
↓
S 81.288376°
E149.853515°		 ← 370.06 m →
137 006 m²		 S 81.288376°
E149.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916290283203125 y=0.909759521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916290283203125 × 214)
    floor (0.916290283203125 × 16384)
    floor (15012.5)     		tx = 15012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909759521484375 × 214)
    floor (0.909759521484375 × 16384)
    floor (14905.5)     		ty = 14905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15012 / 14905 ti = "14/15012/14905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15012/14905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15012 ÷ 214
    15012 ÷ 16384     		x = 0.916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14905 ÷ 214
    14905 ÷ 16384     		y = 0.90972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916259765625 × 2 - 1) × π
    0.83251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61543724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.8194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5744032571955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61543724} λ = 2.61543724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5744032571955))-π/2
    2×atan(0.0761992806063618)-π/2
    2×0.0760523128746078-π/2
    0.152104625749216-1.57079632675     		φ = -1.41869170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61543724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41869170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.285047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15012 KachelY 14905 2.61543724 -1.41869170 149.853515 -81.285047
    Oben rechts KachelX + 1 15013 KachelY 14905 2.61582074 -1.41869170 149.875488 -81.285047
    Unten links KachelX 15012 KachelY + 1 14906 2.61543724 -1.41874980 149.853515 -81.288376
    Unten rechts KachelX + 1 15013 KachelY + 1 14906 2.61582074 -1.41874980 149.875488 -81.288376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41869170--1.41874980) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dl = 370.155099999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41869170--1.41874980) × R
    5.80999999999499e-05 × 6371000     		dr = 370.155099999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61543724-2.61582074) × cos(-1.41869170) × R
    0.000383500000000314 × 0.151518794077424 × 6371000     		do = 370.2026119156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61543724-2.61582074) × cos(-1.41874980) × R
    0.000383500000000314 × 0.151461364622429 × 6371000     		du = 370.062295762945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41869170)-sin(-1.41874980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151518794077424-0.151461364622429)×R²
    abs(2.61582074-2.61543724)×5.74294549946786e-05×R²
    0.000383500000000314×5.74294549946786e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.74294549946786e-05×40589641000000     		ar = 137006.415501073m²