Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15011 / 21389
↖ ↑ ↗
← S 48.085419°
W 15.084228°		 ← 816.04 m → S 48.085419°
W 15.073242°		 →
↑
816 m
↓
↑
816 m
↓
S 48.092757°
W 15.084228°		 ← 815.92 m →
665 839 m²		 S 48.092757°
W 15.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458114624023438 y=0.652755737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458114624023438 × 215)
    floor (0.458114624023438 × 32768)
    floor (15011.5)     		tx = 15011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652755737304688 × 215)
    floor (0.652755737304688 × 32768)
    floor (21389.5)     		ty = 21389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15011 / 21389 ti = "15/15011/21389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15011/21389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15011 ÷ 215
    15011 ÷ 32768     		x = 0.458099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21389 ÷ 215
    21389 ÷ 32768     		y = 0.652740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458099365234375 × 2 - 1) × π
    -0.08380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26326945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.30548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.959696730393524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26326945} λ = -0.26326945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959696730393524))-π/2
    2×atan(0.383009023359543)-π/2
    2×0.365773725235447-π/2
    0.731547450470895-1.57079632675     		φ = -0.83924888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26326945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.084228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83924888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.085419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15011 KachelY 21389 -0.26326945 -0.83924888 -15.084228 -48.085419
    Oben rechts KachelX + 1 15012 KachelY 21389 -0.26307771 -0.83924888 -15.073242 -48.085419
    Unten links KachelX 15011 KachelY + 1 21390 -0.26326945 -0.83937696 -15.084228 -48.092757
    Unten rechts KachelX + 1 15012 KachelY + 1 21390 -0.26307771 -0.83937696 -15.073242 -48.092757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83924888--0.83937696) × R
    0.000128079999999975 × 6371000     		dl = 815.99767999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83924888--0.83937696) × R
    0.000128079999999975 × 6371000     		dr = 815.99767999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26326945--0.26307771) × cos(-0.83924888) × R
    0.000191739999999996 × 0.66802195384399 × 6371000     		do = 816.039278998809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26326945--0.26307771) × cos(-0.83937696) × R
    0.000191739999999996 × 0.66792663871329 × 6371000     		du = 815.922844366555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83924888)-sin(-0.83937696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66802195384399-0.66792663871329)×R²
    abs(-0.26307771--0.26326945)×9.53151306993805e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53151306993805e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53151306993805e-05×40589641000000     		ar = 665838.654167747m²