Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1501 / 1765
↖ ↑ ↗
← N 24.126702°
W 48.076172°		 ← 8 919.26 m → N 24.126702°
W 47.988281°		 →
↑
8 922.08 m
↓
↑
8 922.08 m
↓
N 24.046464°
W 48.076172°		 ← 8 924.84 m →
79 603 204 m²		 N 24.046464°
W 47.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3665771484375 y=0.4310302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3665771484375 × 212)
    floor (0.3665771484375 × 4096)
    floor (1501.5)     		tx = 1501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4310302734375 × 212)
    floor (0.4310302734375 × 4096)
    floor (1765.5)     		ty = 1765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1501 / 1765 ti = "12/1501/1765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1501/1765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1501 ÷ 212
    1501 ÷ 4096     		x = 0.366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1765 ÷ 212
    1765 ÷ 4096     		y = 0.430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366455078125 × 2 - 1) × π
    -0.26708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83908749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434116562959229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83908749} λ = -0.83908749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434116562959229))-π/2
    2×atan(1.54359878407265)-π/2
    2×0.995943356804966-π/2
    1.99188671360993-1.57079632675     		φ = 0.42109039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83908749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42109039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.126702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1501 KachelY 1765 -0.83908749 0.42109039 -48.076172 24.126702
    Oben rechts KachelX + 1 1502 KachelY 1765 -0.83755351 0.42109039 -47.988281 24.126702
    Unten links KachelX 1501 KachelY + 1 1766 -0.83908749 0.41968997 -48.076172 24.046464
    Unten rechts KachelX + 1 1502 KachelY + 1 1766 -0.83755351 0.41968997 -47.988281 24.046464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42109039-0.41968997) × R
    0.00140041999999996 × 6371000     		dl = 8922.07581999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42109039-0.41968997) × R
    0.00140041999999996 × 6371000     		dr = 8922.07581999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83908749--0.83755351) × cos(0.42109039) × R
    0.00153398000000005 × 0.912643779671347 × 6371000     		do = 8919.25541104881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83908749--0.83755351) × cos(0.41968997) × R
    0.00153398000000005 × 0.91321531440113 × 6371000     		du = 8924.84101229299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42109039)-sin(0.41968997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912643779671347-0.91321531440113)×R²
    abs(-0.83755351--0.83908749)×0.000571534729783107×R²
    0.00153398000000005×0.000571534729783107×6371000²
    0.00153398000000005×0.000571534729783107×40589641000000     		ar = 79603203.623881m²