Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15009 / 21390
↖ ↑ ↗
← S 48.092757°
W 15.106201°		 ← 815.97 m → S 48.092757°
W 15.095215°		 →
↑
815.87 m
↓
↑
815.87 m
↓
S 48.100095°
W 15.106201°		 ← 815.85 m →
665 674 m²		 S 48.100095°
W 15.095215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458053588867188 y=0.652786254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458053588867188 × 215)
    floor (0.458053588867188 × 32768)
    floor (15009.5)     		tx = 15009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652786254882812 × 215)
    floor (0.652786254882812 × 32768)
    floor (21390.5)     		ty = 21390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15009 / 21390 ti = "15/15009/21390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15009/21390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15009 ÷ 215
    15009 ÷ 32768     		x = 0.458038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21390 ÷ 215
    21390 ÷ 32768     		y = 0.65277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.08392333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26365295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.3055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.959888477992004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26365295} λ = -0.26365295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959888477992004))-π/2
    2×atan(0.382935589339741)-π/2
    2×0.365709684001715-π/2
    0.731419368003431-1.57079632675     		φ = -0.83937696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26365295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.106201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83937696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.092757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15009 KachelY 21390 -0.26365295 -0.83937696 -15.106201 -48.092757
    Oben rechts KachelX + 1 15010 KachelY 21390 -0.26346120 -0.83937696 -15.095215 -48.092757
    Unten links KachelX 15009 KachelY + 1 21391 -0.26365295 -0.83950502 -15.106201 -48.100095
    Unten rechts KachelX + 1 15010 KachelY + 1 21391 -0.26346120 -0.83950502 -15.095215 -48.100095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83937696--0.83950502) × R
    0.000128060000000096 × 6371000     		dl = 815.870260000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83937696--0.83950502) × R
    0.000128060000000096 × 6371000     		dr = 815.870260000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26365295--0.26346120) × cos(-0.83937696) × R
    0.000191749999999991 × 0.66792663871329 × 6371000     		do = 815.965397972685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26365295--0.26346120) × cos(-0.83950502) × R
    0.000191749999999991 × 0.66783132751185 × 6371000     		du = 815.848962068041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83937696)-sin(-0.83950502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66792663871329-0.66783132751185)×R²
    abs(-0.26346120--0.26365295)×9.53112014399071e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53112014399071e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53112014399071e-05×40589641000000     		ar = 665674.404008822m²