Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15008 / 21408
↖ ↑ ↗
← S 48.224673°
W 15.117188°		 ← 813.87 m → S 48.224673°
W 15.106201°		 →
↑
813.77 m
↓
↑
813.77 m
↓
S 48.231991°
W 15.117188°		 ← 813.75 m →
662 254 m²		 S 48.231991°
W 15.106201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458023071289062 y=0.653335571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458023071289062 × 215)
    floor (0.458023071289062 × 32768)
    floor (15008.5)     		tx = 15008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653335571289062 × 215)
    floor (0.653335571289062 × 32768)
    floor (21408.5)     		ty = 21408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15008 / 21408 ti = "15/15008/21408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15008/21408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15008 ÷ 215
    15008 ÷ 32768     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21408 ÷ 215
    21408 ÷ 32768     		y = 0.6533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963339934764648))-π/2
    2×atan(0.381616181954998)-π/2
    2×0.364558504190935-π/2
    0.72911700838187-1.57079632675     		φ = -0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15008 KachelY 21408 -0.26384470 -0.84167932 -15.117188 -48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 15009 KachelY 21408 -0.26365295 -0.84167932 -15.106201 -48.224673
    Unten links KachelX 15008 KachelY + 1 21409 -0.26384470 -0.84180705 -15.117188 -48.231991
    Unten rechts KachelX + 1 15009 KachelY + 1 21409 -0.26365295 -0.84180705 -15.106201 -48.231991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84167932--0.84180705) × R
    0.000127729999999993 × 6371000     		dl = 813.767829999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84167932--0.84180705) × R
    0.000127729999999993 × 6371000     		dr = 813.767829999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26365295) × cos(-0.84167932) × R
    0.000191749999999991 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 813.869984267281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26365295) × cos(-0.84180705) × R
    0.000191749999999991 × 0.666116129447524 × 6371000     		du = 813.753608791136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84167932)-sin(-0.84180705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.666116129447524)×R²
    abs(-0.26365295--0.26384470)×9.52617363476627e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52617363476627e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52617363476627e-05×40589641000000     		ar = 662253.860590484m²