Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15008 / 15776
↖ ↑ ↗
← N 79.480618°
W138.779297°		 ← 55.75 m → N 79.480618°
W138.776550°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.480116°
W138.779297°		 ← 55.75 m →
3 108 m²		 N 79.480116°
W138.776550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114505767822266 y=0.120365142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114505767822266 × 217)
    floor (0.114505767822266 × 131072)
    floor (15008.5)     		tx = 15008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120365142822266 × 217)
    floor (0.120365142822266 × 131072)
    floor (15776.5)     		ty = 15776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15008 / 15776 ti = "17/15008/15776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15008/15776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15008 ÷ 217
    15008 ÷ 131072     		x = 0.114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15776 ÷ 217
    15776 ÷ 131072     		y = 0.120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.77099609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42215566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    0.75927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42215566} λ = -2.42215566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38534012509399))-π/2
    2×atan(10.8627567328171)-π/2
    2×1.47899740034848-π/2
    2.95799480069696-1.57079632675     		φ = 1.38719847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42215566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38719847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.480618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15008 KachelY 15776 -2.42215566 1.38719847 -138.779297 79.480618
    Oben rechts KachelX + 1 15009 KachelY 15776 -2.42210773 1.38719847 -138.776550 79.480618
    Unten links KachelX 15008 KachelY + 1 15777 -2.42215566 1.38718972 -138.779297 79.480116
    Unten rechts KachelX + 1 15009 KachelY + 1 15777 -2.42210773 1.38718972 -138.776550 79.480116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38719847-1.38718972) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38719847-1.38718972) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42215566--2.42210773) × cos(1.38719847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182568135774842 × 6371000     		do = 55.7493765535556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42215566--2.42210773) × cos(1.38718972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182576738708386 × 6371000     		du = 55.7520035628064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38719847)-sin(1.38718972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182568135774842-0.182576738708386)×R²
    abs(-2.42210773--2.42215566)×8.6029335432114e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.6029335432114e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.6029335432114e-06×40589641000000     		ar = 3107.89190570652m²