Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15007 / 10849
↖ ↑ ↗
← N 76.057185°
W 97.564087°		 ← 147.19 m → N 76.057185°
W 97.558593°		 →
↑
147.17 m
↓
↑
147.17 m
↓
N 76.055861°
W 97.564087°		 ← 147.20 m →
21 662 m²		 N 76.055861°
W 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228996276855469 y=0.165550231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228996276855469 × 216)
    floor (0.228996276855469 × 65536)
    floor (15007.5)     		tx = 15007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165550231933594 × 216)
    floor (0.165550231933594 × 65536)
    floor (10849.5)     		ty = 10849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15007 / 10849 ti = "16/15007/10849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15007/10849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15007 ÷ 216
    15007 ÷ 65536     		x = 0.228988647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10849 ÷ 216
    10849 ÷ 65536     		y = 0.165542602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228988647460938 × 2 - 1) × π
    -0.542022705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70281455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165542602539062 × 2 - 1) × π
    0.668914794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10145780554402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70281455} λ = -1.70281455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10145780554402))-π/2
    2×atan(8.1780832819177)-π/2
    2×1.44912230703192-π/2
    2.89824461406385-1.57079632675     		φ = 1.32744829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70281455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.564087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32744829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.057185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15007 KachelY 10849 -1.70281455 1.32744829 -97.564087 76.057185
    Oben rechts KachelX + 1 15008 KachelY 10849 -1.70271867 1.32744829 -97.558593 76.057185
    Unten links KachelX 15007 KachelY + 1 10850 -1.70281455 1.32742519 -97.564087 76.055861
    Unten rechts KachelX + 1 15008 KachelY + 1 10850 -1.70271867 1.32742519 -97.558593 76.055861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32744829-1.32742519) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dl = 147.170099999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32744829-1.32742519) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dr = 147.170099999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70281455--1.70271867) × cos(1.32744829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240953363386846 × 6371000     		do = 147.186718635736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70281455--1.70271867) × cos(1.32742519) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.240975782720215 × 6371000     		du = 147.200413518705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32744829)-sin(1.32742519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240953363386846-0.240975782720215)×R²
    abs(-1.70271867--1.70281455)×2.24193333688283e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.24193333688283e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.24193333688283e-05×40589641000000     		ar = 21662.4918396767m²