Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15007 / 10785
↖ ↑ ↗
← N 76.141643°
W 97.564087°		 ← 146.31 m → N 76.141643°
W 97.558593°		 →
↑
146.28 m
↓
↑
146.28 m
↓
N 76.140327°
W 97.564087°		 ← 146.33 m →
21 403 m²		 N 76.140327°
W 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228996276855469 y=0.164573669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228996276855469 × 216)
    floor (0.228996276855469 × 65536)
    floor (15007.5)     		tx = 15007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164573669433594 × 216)
    floor (0.164573669433594 × 65536)
    floor (10785.5)     		ty = 10785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15007 / 10785 ti = "16/15007/10785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15007/10785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15007 ÷ 216
    15007 ÷ 65536     		x = 0.228988647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10785 ÷ 216
    10785 ÷ 65536     		y = 0.164566040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228988647460938 × 2 - 1) × π
    -0.542022705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70281455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164566040039062 × 2 - 1) × π
    0.670867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10759372869539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70281455} λ = -1.70281455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10759372869539))-π/2
    2×atan(8.22841763841062)-π/2
    2×1.44985934567056-π/2
    2.89971869134112-1.57079632675     		φ = 1.32892236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70281455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.564087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32892236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.141643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15007 KachelY 10785 -1.70281455 1.32892236 -97.564087 76.141643
    Oben rechts KachelX + 1 15008 KachelY 10785 -1.70271867 1.32892236 -97.558593 76.141643
    Unten links KachelX 15007 KachelY + 1 10786 -1.70281455 1.32889940 -97.564087 76.140327
    Unten rechts KachelX + 1 15008 KachelY + 1 10786 -1.70271867 1.32889940 -97.558593 76.140327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32892236-1.32889940) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dl = 146.278159999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32892236-1.32889940) × R
    2.29599999999053e-05 × 6371000     		dr = 146.278159999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70281455--1.70271867) × cos(1.32892236) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239522463097088 × 6371000     		do = 146.312651076006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70281455--1.70271867) × cos(1.32889940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239544754687242 × 6371000     		du = 146.326267926843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32892236)-sin(1.32889940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239522463097088-0.239544754687242)×R²
    abs(-1.70271867--1.70281455)×2.22915901544329e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22915901544329e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22915901544329e-05×40589641000000     		ar = 21403.3413090413m²