Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15007 / 10404
↖ ↑ ↗
← N 54.749991°
W 15.128174°		 ← 705.03 m → N 54.749991°
W 15.117188°		 →
↑
705.14 m
↓
↑
705.14 m
↓
N 54.743650°
W 15.128174°		 ← 705.14 m →
497 183 m²		 N 54.743650°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457992553710938 y=0.317520141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457992553710938 × 215)
    floor (0.457992553710938 × 32768)
    floor (15007.5)     		tx = 15007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317520141601562 × 215)
    floor (0.317520141601562 × 32768)
    floor (10404.5)     		ty = 10404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15007 / 10404 ti = "15/15007/10404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15007/10404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15007 ÷ 215
    15007 ÷ 32768     		x = 0.457977294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10404 ÷ 215
    10404 ÷ 32768     		y = 0.3175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457977294921875 × 2 - 1) × π
    -0.08404541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26403644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3175048828125 × 2 - 1) × π
    0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26403644} λ = -0.26403644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14665063891174))-π/2
    2×atan(3.14763267613876)-π/2
    2×1.2631819673218-π/2
    2.52636393464361-1.57079632675     		φ = 0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26403644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.128174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15007 KachelY 10404 -0.26403644 0.95556761 -15.128174 54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 15008 KachelY 10404 -0.26384470 0.95556761 -15.117188 54.749991
    Unten links KachelX 15007 KachelY + 1 10405 -0.26403644 0.95545693 -15.128174 54.743650
    Unten rechts KachelX + 1 15008 KachelY + 1 10405 -0.26384470 0.95545693 -15.117188 54.743650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95556761-0.95545693) × R
    0.00011068000000003 × 6371000     		dl = 705.142280000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95556761-0.95545693) × R
    0.00011068000000003 × 6371000     		dr = 705.142280000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26403644--0.26384470) × cos(0.95556761) × R
    0.000191739999999996 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 705.026602270231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26403644--0.26384470) × cos(0.95545693) × R
    0.000191739999999996 × 0.577235699340131 × 6371000     		du = 705.137011128682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95556761)-sin(0.95545693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.577235699340131)×R²
    abs(-0.26384470--0.26403644)×9.03823421767314e-05×R²
    0.000191739999999996×9.03823421767314e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.03823421767314e-05×40589641000000     		ar = 497182.993270781m²