Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15006 / 21532
↖ ↑ ↗
← S 49.124219°
W 15.139160°		 ← 799.47 m → S 49.124219°
W 15.128174°		 →
↑
799.37 m
↓
↑
799.37 m
↓
S 49.131408°
W 15.139160°		 ← 799.35 m →
639 023 m²		 S 49.131408°
W 15.128174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457962036132812 y=0.657119750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457962036132812 × 215)
    floor (0.457962036132812 × 32768)
    floor (15006.5)     		tx = 15006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657119750976562 × 215)
    floor (0.657119750976562 × 32768)
    floor (21532.5)     		ty = 21532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15006 / 21532 ti = "15/15006/21532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15006/21532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15006 ÷ 215
    15006 ÷ 32768     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21532 ÷ 215
    21532 ÷ 32768     		y = 0.6571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.987116636976196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987116636976196))-π/2
    2×atan(0.372649627602931)-π/2
    2×0.356708479226933-π/2
    0.713416958453865-1.57079632675     		φ = -0.85737937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85737937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.124219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15006 KachelY 21532 -0.26422819 -0.85737937 -15.139160 -49.124219
    Oben rechts KachelX + 1 15007 KachelY 21532 -0.26403644 -0.85737937 -15.128174 -49.124219
    Unten links KachelX 15006 KachelY + 1 21533 -0.26422819 -0.85750484 -15.139160 -49.131408
    Unten rechts KachelX + 1 15007 KachelY + 1 21533 -0.26403644 -0.85750484 -15.128174 -49.131408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85737937--0.85750484) × R
    0.000125470000000072 × 6371000     		dl = 799.369370000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85737937--0.85750484) × R
    0.000125470000000072 × 6371000     		dr = 799.369370000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26403644) × cos(-0.85737937) × R
    0.000191749999999991 × 0.654421250474776 × 6371000     		do = 799.466685614029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26403644) × cos(-0.85750484) × R
    0.000191749999999991 × 0.654326373671995 × 6371000     		du = 799.350780387837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85737937)-sin(-0.85750484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654421250474776-0.654326373671995)×R²
    abs(-0.26403644--0.26422819)×9.48768027810853e-05×R²
    0.000191749999999991×9.48768027810853e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.48768027810853e-05×40589641000000     		ar = 639022.85611004m²