Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15006 / 10898
↖ ↑ ↗
← N 75.992180°
W 97.569580°		 ← 147.84 m → N 75.992180°
W 97.564087°		 →
↑
147.87 m
↓
↑
147.87 m
↓
N 75.990850°
W 97.569580°		 ← 147.86 m →
21 863 m²		 N 75.990850°
W 97.564087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228981018066406 y=0.166297912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228981018066406 × 216)
    floor (0.228981018066406 × 65536)
    floor (15006.5)     		tx = 15006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166297912597656 × 216)
    floor (0.166297912597656 × 65536)
    floor (10898.5)     		ty = 10898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15006 / 10898 ti = "16/15006/10898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15006/10898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15006 ÷ 216
    15006 ÷ 65536     		x = 0.228973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10898 ÷ 216
    10898 ÷ 65536     		y = 0.166290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.54205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70291042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166290283203125 × 2 - 1) × π
    0.66741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09675998938126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70291042} λ = -1.70291042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09675998938126))-π/2
    2×atan(8.13975425195547)-π/2
    2×1.44855503762227-π/2
    2.89711007524455-1.57079632675     		φ = 1.32631375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70291042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32631375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.992180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15006 KachelY 10898 -1.70291042 1.32631375 -97.569580 75.992180
    Oben rechts KachelX + 1 15007 KachelY 10898 -1.70281455 1.32631375 -97.564087 75.992180
    Unten links KachelX 15006 KachelY + 1 10899 -1.70291042 1.32629054 -97.569580 75.990850
    Unten rechts KachelX + 1 15007 KachelY + 1 10899 -1.70281455 1.32629054 -97.564087 75.990850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32631375-1.32629054) × R
    2.32099999999402e-05 × 6371000     		dl = 147.870909999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32631375-1.32629054) × R
    2.32099999999402e-05 × 6371000     		dr = 147.870909999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70291042--1.70281455) × cos(1.32631375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242054320777483 × 6371000     		do = 147.84381880654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70291042--1.70281455) × cos(1.32629054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.242076840509535 × 6371000     		du = 147.857573583461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32631375)-sin(1.32629054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242054320777483-0.242076840509535)×R²
    abs(-1.70281455--1.70291042)×2.25197320525283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25197320525283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25197320525283e-05×40589641000000     		ar = 21862.8169914323m²