Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15003 / 7791
↖ ↑ ↗
← N 68.208291°
W 15.172119°		 ← 453.49 m → N 68.208291°
W 15.161133°		 →
↑
453.55 m
↓
↑
453.55 m
↓
N 68.204212°
W 15.172119°		 ← 453.57 m →
205 699 m²		 N 68.204212°
W 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457870483398438 y=0.237777709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457870483398438 × 215)
    floor (0.457870483398438 × 32768)
    floor (15003.5)     		tx = 15003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237777709960938 × 215)
    floor (0.237777709960938 × 32768)
    floor (7791.5)     		ty = 7791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15003 / 7791 ti = "15/15003/7791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15003/7791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15003 ÷ 215
    15003 ÷ 32768     		x = 0.457855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7791 ÷ 215
    7791 ÷ 32768     		y = 0.237762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.08428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26480343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237762451171875 × 2 - 1) × π
    0.52447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64768711374057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26480343} λ = -0.26480343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64768711374057))-π/2
    2×atan(5.19495059157378)-π/2
    2×1.38062779133276-π/2
    2.76125558266552-1.57079632675     		φ = 1.19045926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26480343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.172119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19045926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.208291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15003 KachelY 7791 -0.26480343 1.19045926 -15.172119 68.208291
    Oben rechts KachelX + 1 15004 KachelY 7791 -0.26461169 1.19045926 -15.161133 68.208291
    Unten links KachelX 15003 KachelY + 1 7792 -0.26480343 1.19038807 -15.172119 68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 15004 KachelY + 1 7792 -0.26461169 1.19038807 -15.161133 68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19045926-1.19038807) × R
    7.11899999998877e-05 × 6371000     		dl = 453.551489999285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19045926-1.19038807) × R
    7.11899999998877e-05 × 6371000     		dr = 453.551489999285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26480343--0.26461169) × cos(1.19045926) × R
    0.000191739999999996 × 0.37123347034842 × 6371000     		do = 453.489727006935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26480343--0.26461169) × cos(1.19038807) × R
    0.000191739999999996 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 453.570475337187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19045926)-sin(1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37123347034842-0.371299572138779)×R²
    abs(-0.26461169--0.26480343)×6.6101790358819e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6101790358819e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6101790358819e-05×40589641000000     		ar = 205699.253233098m²