Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15003 / 14907
↖ ↑ ↗
← S 81.291703°
E149.655762°		 ← 369.91 m → S 81.291703°
E149.677734°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
S 81.295029°
E149.655762°		 ← 369.77 m →
136 781 m²		 S 81.295029°
E149.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915740966796875 y=0.909881591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915740966796875 × 214)
    floor (0.915740966796875 × 16384)
    floor (15003.5)     		tx = 15003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909881591796875 × 214)
    floor (0.909881591796875 × 16384)
    floor (14907.5)     		ty = 14907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15003 / 14907 ti = "14/15003/14907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15003/14907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15003 ÷ 214
    15003 ÷ 16384     		x = 0.91571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14907 ÷ 214
    14907 ÷ 16384     		y = 0.90985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91571044921875 × 2 - 1) × π
    0.8314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61198579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.8197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57517024758942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61198579} λ = 2.61198579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57517024758942))-π/2
    2×atan(0.0761408588974218)-π/2
    2×0.0759942281661647-π/2
    0.151988456332329-1.57079632675     		φ = -1.41880787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61198579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41880787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.291703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15003 KachelY 14907 2.61198579 -1.41880787 149.655762 -81.291703
    Oben rechts KachelX + 1 15004 KachelY 14907 2.61236928 -1.41880787 149.677734 -81.291703
    Unten links KachelX 15003 KachelY + 1 14908 2.61198579 -1.41886592 149.655762 -81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 15004 KachelY + 1 14908 2.61236928 -1.41886592 149.677734 -81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41880787--1.41886592) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dl = 369.836550000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41880787--1.41886592) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dr = 369.836550000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61198579-2.61236928) × cos(-1.41880787) × R
    0.000383489999999931 × 0.151403964310319 × 6371000     		do = 369.912404867538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61198579-2.61236928) × cos(-1.41886592) × R
    0.000383489999999931 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 369.772210630065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41880787)-sin(-1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151403964310319-0.151346583257271)×R²
    abs(2.61236928-2.61198579)×5.73810530478669e-05×R²
    0.000383489999999931×5.73810530478669e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.73810530478669e-05×40589641000000     		ar = 136781.203179988m²