Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15002 / 14854
↖ ↑ ↗
← S 81.113602°
E149.633789°		 ← 377.43 m → S 81.113602°
E149.655762°		 →
↑
377.35 m
↓
↑
377.35 m
↓
S 81.116996°
E149.633789°		 ← 377.28 m →
142 397 m²		 S 81.116996°
E149.655762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915679931640625 y=0.906646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915679931640625 × 214)
    floor (0.915679931640625 × 16384)
    floor (15002.5)     		tx = 15002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906646728515625 × 214)
    floor (0.906646728515625 × 16384)
    floor (14854.5)     		ty = 14854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15002 / 14854 ti = "14/15002/14854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15002/14854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15002 ÷ 214
    15002 ÷ 16384     		x = 0.9156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14854 ÷ 214
    14854 ÷ 16384     		y = 0.9066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    0.831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61160229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61160229} λ = 2.61160229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55484500215051))-π/2
    2×atan(0.0777042751294949)-π/2
    2×0.0775484476460636-π/2
    0.155096895292127-1.57079632675     		φ = -1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61160229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15002 KachelY 14854 2.61160229 -1.41569943 149.633789 -81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 15003 KachelY 14854 2.61198579 -1.41569943 149.655762 -81.113602
    Unten links KachelX 15002 KachelY + 1 14855 2.61160229 -1.41575866 149.633789 -81.116996
    Unten rechts KachelX + 1 15003 KachelY + 1 14855 2.61198579 -1.41575866 149.655762 -81.116996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41569943--1.41575866) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dl = 377.354329999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41569943--1.41575866) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dr = 377.354329999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61160229-2.61198579) × cos(-1.41569943) × R
    0.00038349999999987 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 377.427483289973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61160229-2.61198579) × cos(-1.41575866) × R
    0.00038349999999987 × 0.154417314409303 × 6371000     		du = 377.284504323863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41569943)-sin(-1.41575866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.154417314409303)×R²
    abs(2.61198579-2.61160229)×5.85193076064749e-05×R²
    0.00038349999999987×5.85193076064749e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.85193076064749e-05×40589641000000     		ar = 142396.918255148m²