Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15001 / 7793
↖ ↑ ↗
← N 68.200132°
W 15.194092°		 ← 453.67 m → N 68.200132°
W 15.183105°		 →
↑
453.68 m
↓
↑
453.68 m
↓
N 68.196052°
W 15.194092°		 ← 453.76 m →
205 841 m²		 N 68.196052°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457809448242188 y=0.237838745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457809448242188 × 215)
    floor (0.457809448242188 × 32768)
    floor (15001.5)     		tx = 15001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237838745117188 × 215)
    floor (0.237838745117188 × 32768)
    floor (7793.5)     		ty = 7793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15001 / 7793 ti = "15/15001/7793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15001/7793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15001 ÷ 215
    15001 ÷ 32768     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7793 ÷ 215
    7793 ÷ 32768     		y = 0.237823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237823486328125 × 2 - 1) × π
    0.52435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64730361854361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64730361854361))-π/2
    2×atan(5.19295873493161)-π/2
    2×1.38055659553053-π/2
    2.76111319106106-1.57079632675     		φ = 1.19031686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19031686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.200132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15001 KachelY 7793 -0.26518693 1.19031686 -15.194092 68.200132
    Oben rechts KachelX + 1 15002 KachelY 7793 -0.26499518 1.19031686 -15.183105 68.200132
    Unten links KachelX 15001 KachelY + 1 7794 -0.26518693 1.19024565 -15.194092 68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 15002 KachelY + 1 7794 -0.26499518 1.19024565 -15.183105 68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19031686-1.19024565) × R
    7.12099999999882e-05 × 6371000     		dl = 453.678909999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19031686-1.19024565) × R
    7.12099999999882e-05 × 6371000     		dr = 453.678909999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26499518) × cos(1.19031686) × R
    0.000191749999999991 × 0.371365690617119 × 6371000     		do = 453.674903761207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26499518) × cos(1.19024565) × R
    0.000191749999999991 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 453.755674388974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19031686)-sin(1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371365690617119-0.371431807212315)×R²
    abs(-0.26499518--0.26518693)×6.61165951955645e-05×R²
    0.000191749999999991×6.61165951955645e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.61165951955645e-05×40589641000000     		ar = 205841.05788501m²