Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15001 / 10405
↖ ↑ ↗
← N 54.743650°
W 15.194092°		 ← 705.17 m → N 54.743650°
W 15.183105°		 →
↑
705.21 m
↓
↑
705.21 m
↓
N 54.737308°
W 15.194092°		 ← 705.28 m →
497 332 m²		 N 54.737308°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457809448242188 y=0.317550659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457809448242188 × 215)
    floor (0.457809448242188 × 32768)
    floor (15001.5)     		tx = 15001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317550659179688 × 215)
    floor (0.317550659179688 × 32768)
    floor (10405.5)     		ty = 10405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15001 / 10405 ti = "15/15001/10405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15001/10405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15001 ÷ 215
    15001 ÷ 32768     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10405 ÷ 215
    10405 ÷ 32768     		y = 0.317535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317535400390625 × 2 - 1) × π
    0.36492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14645889131326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14645889131326))-π/2
    2×atan(3.14702918299325)-π/2
    2×1.26312662987499-π/2
    2.52625325974997-1.57079632675     		φ = 0.95545693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95545693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.743650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15001 KachelY 10405 -0.26518693 0.95545693 -15.194092 54.743650
    Oben rechts KachelX + 1 15002 KachelY 10405 -0.26499518 0.95545693 -15.183105 54.743650
    Unten links KachelX 15001 KachelY + 1 10406 -0.26518693 0.95534624 -15.194092 54.737308
    Unten rechts KachelX + 1 15002 KachelY + 1 10406 -0.26499518 0.95534624 -15.183105 54.737308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95545693-0.95534624) × R
    0.000110689999999969 × 6371000     		dl = 705.205989999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95545693-0.95534624) × R
    0.000110689999999969 × 6371000     		dr = 705.205989999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26499518) × cos(0.95545693) × R
    0.000191749999999991 × 0.577235699340131 × 6371000     		do = 705.173786815068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26499518) × cos(0.95534624) × R
    0.000191749999999991 × 0.577326082776271 × 6371000     		du = 705.284202768207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95545693)-sin(0.95534624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577235699340131-0.577326082776271)×R²
    abs(-0.26499518--0.26518693)×9.03834361402067e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03834361402067e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03834361402067e-05×40589641000000     		ar = 497331.711956133m²