Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15000 / 14952
↖ ↑ ↗
← S 81.440137°
E149.589844°		 ← 363.66 m → S 81.440137°
E149.611817°		 →
↑
363.59 m
↓
↑
363.59 m
↓
S 81.443407°
E149.589844°		 ← 363.53 m →
132 201 m²		 S 81.443407°
E149.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915557861328125 y=0.912628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915557861328125 × 214)
    floor (0.915557861328125 × 16384)
    floor (15000.5)     		tx = 15000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912628173828125 × 214)
    floor (0.912628173828125 × 16384)
    floor (14952.5)     		ty = 14952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15000 / 14952 ti = "14/15000/14952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15000/14952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15000 ÷ 214
    15000 ÷ 16384     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14952 ÷ 214
    14952 ÷ 16384     		y = 0.91259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    -0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59242753145264))-π/2
    2×atan(0.0748381474428201)-π/2
    2×0.0746988985403158-π/2
    0.149397797080632-1.57079632675     		φ = -1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15000 KachelY 14952 2.61083530 -1.42139853 149.589844 -81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 15001 KachelY 14952 2.61121880 -1.42139853 149.611817 -81.440137
    Unten links KachelX 15000 KachelY + 1 14953 2.61083530 -1.42145560 149.589844 -81.443407
    Unten rechts KachelX + 1 15001 KachelY + 1 14953 2.61121880 -1.42145560 149.611817 -81.443407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139853--1.42145560) × R
    5.70699999999924e-05 × 6371000     		dl = 363.592969999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139853--1.42145560) × R
    5.70699999999924e-05 × 6371000     		dr = 363.592969999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61121880) × cos(-1.42139853) × R
    0.00038349999999987 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 363.664081568178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61121880) × cos(-1.42145560) × R
    0.00038349999999987 × 0.148786229767176 × 6371000     		du = 363.526196286078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139853)-sin(-1.42145560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148786229767176)×R²
    abs(2.61121880-2.61083530)×5.64345333944338e-05×R²
    0.00038349999999987×5.64345333944338e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.64345333944338e-05×40589641000000     		ar = 132200.636476047m²