Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15000 / 14936
↖ ↑ ↗
← S 81.387650°
E149.589844°		 ← 365.88 m → S 81.387650°
E149.611817°		 →
↑
365.76 m
↓
↑
365.76 m
↓
S 81.390940°
E149.589844°		 ← 365.74 m →
133 798 m²		 S 81.390940°
E149.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915557861328125 y=0.911651611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915557861328125 × 214)
    floor (0.915557861328125 × 16384)
    floor (15000.5)     		tx = 15000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911651611328125 × 214)
    floor (0.911651611328125 × 16384)
    floor (14936.5)     		ty = 14936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15000 / 14936 ti = "14/15000/14936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15000/14936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15000 ÷ 214
    15000 ÷ 16384     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14936 ÷ 214
    14936 ÷ 16384     		y = 0.91162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    -0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58629160830127))-π/2
    2×atan(0.0752987602615946)-π/2
    2×0.0751569302177369-π/2
    0.150313860435474-1.57079632675     		φ = -1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15000 KachelY 14936 2.61083530 -1.42048247 149.589844 -81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 15001 KachelY 14936 2.61121880 -1.42048247 149.611817 -81.387650
    Unten links KachelX 15000 KachelY + 1 14937 2.61083530 -1.42053988 149.589844 -81.390940
    Unten rechts KachelX + 1 15001 KachelY + 1 14937 2.61121880 -1.42053988 149.611817 -81.390940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42048247--1.42053988) × R
    5.74099999999245e-05 × 6371000     		dl = 365.759109999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42048247--1.42053988) × R
    5.74099999999245e-05 × 6371000     		dr = 365.759109999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61121880) × cos(-1.42048247) × R
    0.00038349999999987 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 365.877186934509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61121880) × cos(-1.42053988) × R
    0.00038349999999987 × 0.149691694730747 × 6371000     		du = 365.738499364073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42048247)-sin(-1.42053988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149691694730747)×R²
    abs(2.61121880-2.61083530)×5.67628988820401e-05×R²
    0.00038349999999987×5.67628988820401e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.67628988820401e-05×40589641000000     		ar = 133797.551178203m²