Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15000 / 12137
↖ ↑ ↗
← N 74.246321°
W 97.602539°		 ← 165.83 m → N 74.246321°
W 97.597046°		 →
↑
165.84 m
↓
↑
165.84 m
↓
N 74.244830°
W 97.602539°		 ← 165.85 m →
27 502 m²		 N 74.244830°
W 97.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228889465332031 y=0.185203552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228889465332031 × 216)
    floor (0.228889465332031 × 65536)
    floor (15000.5)     		tx = 15000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185203552246094 × 216)
    floor (0.185203552246094 × 65536)
    floor (12137.5)     		ty = 12137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15000 / 12137 ti = "16/15000/12137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15000/12137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15000 ÷ 216
    15000 ÷ 65536     		x = 0.2288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12137 ÷ 216
    12137 ÷ 65536     		y = 0.185195922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185195922851562 × 2 - 1) × π
    0.629608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.97797235212276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70348566} λ = -1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97797235212276))-π/2
    2×atan(7.22807213141089)-π/2
    2×1.43331954535349-π/2
    2.86663909070697-1.57079632675     		φ = 1.29584276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29584276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.246321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15000 KachelY 12137 -1.70348566 1.29584276 -97.602539 74.246321
    Oben rechts KachelX + 1 15001 KachelY 12137 -1.70338979 1.29584276 -97.597046 74.246321
    Unten links KachelX 15000 KachelY + 1 12138 -1.70348566 1.29581673 -97.602539 74.244830
    Unten rechts KachelX + 1 15001 KachelY + 1 12138 -1.70338979 1.29581673 -97.597046 74.244830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29584276-1.29581673) × R
    2.60299999998992e-05 × 6371000     		dl = 165.837129999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29584276-1.29581673) × R
    2.60299999998992e-05 × 6371000     		dr = 165.837129999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70348566--1.70338979) × cos(1.29584276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.271502248176797 × 6371000     		do = 165.830252713889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70348566--1.70338979) × cos(1.29581673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.271527300340889 × 6371000     		du = 165.845554269328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29584276)-sin(1.29581673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271502248176797-0.271527300340889)×R²
    abs(-1.70338979--1.70348566)×2.5052164091599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.5052164091599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5052164091599e-05×40589641000000     		ar = 27502.0819613836m²