Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15000 / 11686
↖ ↑ ↗
← N 74.905127°
W 97.602539°		 ← 159.06 m → N 74.905127°
W 97.597046°		 →
↑
159.08 m
↓
↑
159.08 m
↓
N 74.903697°
W 97.602539°		 ← 159.07 m →
25 305 m²		 N 74.903697°
W 97.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228889465332031 y=0.178321838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228889465332031 × 216)
    floor (0.228889465332031 × 65536)
    floor (15000.5)     		tx = 15000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.178321838378906 × 216)
    floor (0.178321838378906 × 65536)
    floor (11686.5)     		ty = 11686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15000 / 11686 ti = "16/15000/11686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15000/11686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15000 ÷ 216
    15000 ÷ 65536     		x = 0.2288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11686 ÷ 216
    11686 ÷ 65536     		y = 0.178314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.178314208984375 × 2 - 1) × π
    0.64337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02121143558005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70348566} λ = -1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02121143558005))-π/2
    2×atan(7.54746266246789)-π/2
    2×1.43906871347318-π/2
    2.87813742694636-1.57079632675     		φ = 1.30734110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30734110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.905127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15000 KachelY 11686 -1.70348566 1.30734110 -97.602539 74.905127
    Oben rechts KachelX + 1 15001 KachelY 11686 -1.70338979 1.30734110 -97.597046 74.905127
    Unten links KachelX 15000 KachelY + 1 11687 -1.70348566 1.30731613 -97.602539 74.903697
    Unten rechts KachelX + 1 15001 KachelY + 1 11687 -1.70338979 1.30731613 -97.597046 74.903697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30734110-1.30731613) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dl = 159.083869999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30734110-1.30731613) × R
    2.4969999999902e-05 × 6371000     		dr = 159.083869999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70348566--1.70338979) × cos(1.30734110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.260418107206501 × 6371000     		do = 159.060194968276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70348566--1.70338979) × cos(1.30731613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.260442215558925 × 6371000     		du = 159.074920055092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30734110)-sin(1.30731613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.260418107206501-0.260442215558925)×R²
    abs(-1.70338979--1.70348566)×2.41083524244456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.41083524244456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.41083524244456e-05×40589641000000     		ar = 25305.0826420066m²