Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15000 / 10465
↖ ↑ ↗
← N 54.361358°
W 15.205078°		 ← 711.81 m → N 54.361358°
W 15.194092°		 →
↑
711.90 m
↓
↑
711.90 m
↓
N 54.354956°
W 15.205078°		 ← 711.92 m →
506 777 m²		 N 54.354956°
W 15.194092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457778930664062 y=0.319381713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457778930664062 × 215)
    floor (0.457778930664062 × 32768)
    floor (15000.5)     		tx = 15000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319381713867188 × 215)
    floor (0.319381713867188 × 32768)
    floor (10465.5)     		ty = 10465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15000 / 10465 ti = "15/15000/10465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15000/10465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15000 ÷ 215
    15000 ÷ 32768     		x = 0.457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10465 ÷ 215
    10465 ÷ 32768     		y = 0.319366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457763671875 × 2 - 1) × π
    -0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319366455078125 × 2 - 1) × π
    0.36126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13495403540445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26537868} λ = -0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13495403540445))-π/2
    2×atan(3.11103054235805)-π/2
    2×1.25979050142383-π/2
    2.51958100284765-1.57079632675     		φ = 0.94878468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94878468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.361358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15000 KachelY 10465 -0.26537868 0.94878468 -15.205078 54.361358
    Oben rechts KachelX + 1 15001 KachelY 10465 -0.26518693 0.94878468 -15.194092 54.361358
    Unten links KachelX 15000 KachelY + 1 10466 -0.26537868 0.94867294 -15.205078 54.354956
    Unten rechts KachelX + 1 15001 KachelY + 1 10466 -0.26518693 0.94867294 -15.194092 54.354956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94878468-0.94867294) × R
    0.000111740000000027 × 6371000     		dl = 711.895540000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94878468-0.94867294) × R
    0.000111740000000027 × 6371000     		dr = 711.895540000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26537868--0.26518693) × cos(0.94878468) × R
    0.000191749999999991 × 0.582671219778118 × 6371000     		do = 711.814031926291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26537868--0.26518693) × cos(0.94867294) × R
    0.000191749999999991 × 0.582762028129284 × 6371000     		du = 711.924966972303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94878468)-sin(0.94867294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582671219778118-0.582762028129284)×R²
    abs(-0.26518693--0.26537868)×9.08083511660385e-05×R²
    0.000191749999999991×9.08083511660385e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.08083511660385e-05×40589641000000     		ar = 506776.722247561m²