Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14999 / 7796
↖ ↑ ↗
← N 68.187889°
W 15.216064°		 ← 453.89 m → N 68.187889°
W 15.205078°		 →
↑
453.93 m
↓
↑
453.93 m
↓
N 68.183807°
W 15.216064°		 ← 453.97 m →
206 056 m²		 N 68.183807°
W 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457748413085938 y=0.237930297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457748413085938 × 215)
    floor (0.457748413085938 × 32768)
    floor (14999.5)     		tx = 14999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237930297851562 × 215)
    floor (0.237930297851562 × 32768)
    floor (7796.5)     		ty = 7796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14999 / 7796 ti = "15/14999/7796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14999/7796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14999 ÷ 215
    14999 ÷ 32768     		x = 0.457733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7796 ÷ 215
    7796 ÷ 32768     		y = 0.2379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.08453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26557042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2379150390625 × 2 - 1) × π
    0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26557042} λ = -0.26557042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64672837574817))-π/2
    2×atan(5.18997238185371)-π/2
    2×1.38044975428378-π/2
    2.76089950856757-1.57079632675     		φ = 1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26557042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.216064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14999 KachelY 7796 -0.26557042 1.19010318 -15.216064 68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 15000 KachelY 7796 -0.26537868 1.19010318 -15.205078 68.187889
    Unten links KachelX 14999 KachelY + 1 7797 -0.26557042 1.19003193 -15.216064 68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 15000 KachelY + 1 7797 -0.26537868 1.19003193 -15.205078 68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19010318-1.19003193) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dl = 453.933749999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19010318-1.19003193) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dr = 453.933749999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26557042--0.26537868) × cos(1.19010318) × R
    0.000191739999999996 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 453.893593102641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26557042--0.26537868) × cos(1.19003193) × R
    0.000191739999999996 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 453.974397976328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19010318)-sin(1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371630229249955)×R²
    abs(-0.26537868--0.26557042)×6.61480776596446e-05×R²
    0.000191739999999996×6.61480776596446e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.61480776596446e-05×40589641000000     		ar = 206055.96093494m²