Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14999 / 14953
↖ ↑ ↗
← S 81.443407°
E149.567871°		 ← 363.52 m → S 81.443407°
E149.589844°		 →
↑
363.47 m
↓
↑
363.47 m
↓
S 81.446675°
E149.567871°		 ← 363.38 m →
132 101 m²		 S 81.446675°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915496826171875 y=0.912689208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915496826171875 × 214)
    floor (0.915496826171875 × 16384)
    floor (14999.5)     		tx = 14999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912689208984375 × 214)
    floor (0.912689208984375 × 16384)
    floor (14953.5)     		ty = 14953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14999 / 14953 ti = "14/14999/14953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14999/14953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14999 ÷ 214
    14999 ÷ 16384     		x = 0.91546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14953 ÷ 214
    14953 ÷ 16384     		y = 0.91265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91546630859375 × 2 - 1) × π
    0.8309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61045181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5928110266496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61045181} λ = 2.61045181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5928110266496))-π/2
    2×atan(0.0748094528751925)-π/2
    2×0.0746703637277224-π/2
    0.149340727455445-1.57079632675     		φ = -1.42145560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61045181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42145560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.443407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14999 KachelY 14953 2.61045181 -1.42145560 149.567871 -81.443407
    Oben rechts KachelX + 1 15000 KachelY 14953 2.61083530 -1.42145560 149.589844 -81.443407
    Unten links KachelX 14999 KachelY + 1 14954 2.61045181 -1.42151265 149.567871 -81.446675
    Unten rechts KachelX + 1 15000 KachelY + 1 14954 2.61083530 -1.42151265 149.589844 -81.446675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42145560--1.42151265) × R
    5.70499999998919e-05 × 6371000     		dl = 363.465549999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42145560--1.42151265) × R
    5.70499999998919e-05 × 6371000     		dr = 363.465549999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61045181-2.61083530) × cos(-1.42145560) × R
    0.000383490000000375 × 0.148786229767176 × 6371000     		do = 363.516717115858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61045181-2.61083530) × cos(-1.42151265) × R
    0.000383490000000375 × 0.148729814526745 × 6371000     		du = 363.378882566054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42145560)-sin(-1.42151265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148786229767176-0.148729814526745)×R²
    abs(2.61083530-2.61045181)×5.64152404314289e-05×R²
    0.000383490000000375×5.64152404314289e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.64152404314289e-05×40589641000000     		ar = 132100.754500417m²