Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14999 / 14919
↖ ↑ ↗
← S 81.331533°
E149.567871°		 ← 368.23 m → S 81.331533°
E149.589844°		 →
↑
368.18 m
↓
↑
368.18 m
↓
S 81.334844°
E149.567871°		 ← 368.09 m →
135 551 m²		 S 81.334844°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915496826171875 y=0.910614013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915496826171875 × 214)
    floor (0.915496826171875 × 16384)
    floor (14999.5)     		tx = 14999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910614013671875 × 214)
    floor (0.910614013671875 × 16384)
    floor (14919.5)     		ty = 14919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14999 / 14919 ti = "14/14999/14919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14999/14919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14999 ÷ 214
    14999 ÷ 16384     		x = 0.91546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14919 ÷ 214
    14919 ÷ 16384     		y = 0.91058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91546630859375 × 2 - 1) × π
    0.8309326171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61045181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91058349609375 × 2 - 1) × π
    -0.8211669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57977218995294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61045181} λ = 2.61045181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57977218995294))-π/2
    2×atan(0.0757912680686546)-π/2
    2×0.0756466431990614-π/2
    0.151293286398123-1.57079632675     		φ = -1.41950304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61045181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41950304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.331533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14999 KachelY 14919 2.61045181 -1.41950304 149.567871 -81.331533
    Oben rechts KachelX + 1 15000 KachelY 14919 2.61083530 -1.41950304 149.589844 -81.331533
    Unten links KachelX 14999 KachelY + 1 14920 2.61045181 -1.41956083 149.567871 -81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 15000 KachelY + 1 14920 2.61083530 -1.41956083 149.589844 -81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41950304--1.41956083) × R
    5.77900000000575e-05 × 6371000     		dl = 368.180090000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41950304--1.41956083) × R
    5.77900000000575e-05 × 6371000     		dr = 368.180090000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61045181-2.61083530) × cos(-1.41950304) × R
    0.000383490000000375 × 0.150716771720994 × 6371000     		do = 368.233445770147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61045181-2.61083530) × cos(-1.41956083) × R
    0.000383490000000375 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 368.093864626787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41950304)-sin(-1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150716771720994-0.150659641605406)×R²
    abs(2.61083530-2.61045181)×5.71301155885551e-05×R²
    0.000383490000000375×5.71301155885551e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.71301155885551e-05×40589641000000     		ar = 135550.527745079m²