Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14999 / 10903
↖ ↑ ↗
← N 75.985530°
W 97.608032°		 ← 147.93 m → N 75.985530°
W 97.602539°		 →
↑
147.93 m
↓
↑
147.93 m
↓
N 75.984200°
W 97.608032°		 ← 147.94 m →
21 885 m²		 N 75.984200°
W 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228874206542969 y=0.166374206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228874206542969 × 216)
    floor (0.228874206542969 × 65536)
    floor (14999.5)     		tx = 14999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166374206542969 × 216)
    floor (0.166374206542969 × 65536)
    floor (10903.5)     		ty = 10903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14999 / 10903 ti = "16/14999/10903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14999/10903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14999 ÷ 216
    14999 ÷ 65536     		x = 0.228866577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10903 ÷ 216
    10903 ÷ 65536     		y = 0.166366577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228866577148438 × 2 - 1) × π
    -0.542266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70358154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166366577148438 × 2 - 1) × π
    0.667266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09628062038506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70358154} λ = -1.70358154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09628062038506))-π/2
    2×atan(8.1358532412169)-π/2
    2×1.44849700745939-π/2
    2.89699401491877-1.57079632675     		φ = 1.32619769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70358154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32619769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.985530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14999 KachelY 10903 -1.70358154 1.32619769 -97.608032 75.985530
    Oben rechts KachelX + 1 15000 KachelY 10903 -1.70348566 1.32619769 -97.602539 75.985530
    Unten links KachelX 14999 KachelY + 1 10904 -1.70358154 1.32617447 -97.608032 75.984200
    Unten rechts KachelX + 1 15000 KachelY + 1 10904 -1.70348566 1.32617447 -97.602539 75.984200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32619769-1.32617447) × R
    2.32200000001015e-05 × 6371000     		dl = 147.934620000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32619769-1.32617447) × R
    2.32200000001015e-05 × 6371000     		dr = 147.934620000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70358154--1.70348566) × cos(1.32619769) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.242166927835892 × 6371000     		do = 147.928026275853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70358154--1.70348566) × cos(1.32617447) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.242189456618018 × 6371000     		du = 147.941788015758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32619769)-sin(1.32617447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242166927835892-0.242189456618018)×R²
    abs(-1.70348566--1.70358154)×2.25287821259967e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.25287821259967e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.25287821259967e-05×40589641000000     		ar = 21884.6942743846m²