Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14999 / 10463
↖ ↑ ↗
← N 54.374158°
W 15.216064°		 ← 711.56 m → N 54.374158°
W 15.205078°		 →
↑
711.64 m
↓
↑
711.64 m
↓
N 54.367758°
W 15.216064°		 ← 711.67 m →
506 411 m²		 N 54.367758°
W 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457748413085938 y=0.319320678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457748413085938 × 215)
    floor (0.457748413085938 × 32768)
    floor (14999.5)     		tx = 14999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319320678710938 × 215)
    floor (0.319320678710938 × 32768)
    floor (10463.5)     		ty = 10463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14999 / 10463 ti = "15/14999/10463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14999/10463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14999 ÷ 215
    14999 ÷ 32768     		x = 0.457733154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10463 ÷ 215
    10463 ÷ 32768     		y = 0.319305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.08453369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26557042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319305419921875 × 2 - 1) × π
    0.36138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13533753060141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26557042} λ = -0.26557042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13533753060141))-π/2
    2×atan(3.11222383642528)-π/2
    2×1.25990220982165-π/2
    2.5198044196433-1.57079632675     		φ = 0.94900809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26557042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.216064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94900809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.374158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14999 KachelY 10463 -0.26557042 0.94900809 -15.216064 54.374158
    Oben rechts KachelX + 1 15000 KachelY 10463 -0.26537868 0.94900809 -15.205078 54.374158
    Unten links KachelX 14999 KachelY + 1 10464 -0.26557042 0.94889639 -15.216064 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 15000 KachelY + 1 10464 -0.26537868 0.94889639 -15.205078 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94900809-0.94889639) × R
    0.000111699999999937 × 6371000     		dl = 711.640699999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94900809-0.94889639) × R
    0.000111699999999937 × 6371000     		dr = 711.640699999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26557042--0.26537868) × cos(0.94900809) × R
    0.000191739999999996 × 0.582489638150194 × 6371000     		do = 711.555094267712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26557042--0.26537868) × cos(0.94889639) × R
    0.000191739999999996 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 711.666001581073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94900809)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582489638150194-0.582580428535012)×R²
    abs(-0.26537868--0.26557042)×9.07903848185176e-05×R²
    0.000191739999999996×9.07903848185176e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.07903848185176e-05×40589641000000     		ar = 506411.028978371m²