Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14998 / 14940
↖ ↑ ↗
← S 81.400802°
E149.545898°		 ← 365.32 m → S 81.400802°
E149.567871°		 →
↑
365.25 m
↓
↑
365.25 m
↓
S 81.404086°
E149.545898°		 ← 365.18 m →
133 409 m²		 S 81.404086°
E149.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915435791015625 y=0.911895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915435791015625 × 214)
    floor (0.915435791015625 × 16384)
    floor (14998.5)     		tx = 14998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911895751953125 × 214)
    floor (0.911895751953125 × 16384)
    floor (14940.5)     		ty = 14940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14998 / 14940 ti = "14/14998/14940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14998/14940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14998 ÷ 214
    14998 ÷ 16384     		x = 0.9154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14940 ÷ 214
    14940 ÷ 16384     		y = 0.911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61006831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61006831} λ = 2.61006831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58782558908911))-π/2
    2×atan(0.0751833419573682)-π/2
    2×0.0750421616432987-π/2
    0.150084323286597-1.57079632675     		φ = -1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61006831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14998 KachelY 14940 2.61006831 -1.42071200 149.545898 -81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 14999 KachelY 14940 2.61045181 -1.42071200 149.567871 -81.400802
    Unten links KachelX 14998 KachelY + 1 14941 2.61006831 -1.42076933 149.545898 -81.404086
    Unten rechts KachelX + 1 14999 KachelY + 1 14941 2.61045181 -1.42076933 149.567871 -81.404086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42071200--1.42076933) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dl = 365.249429999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42071200--1.42076933) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dr = 365.249429999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61006831-2.61045181) × cos(-1.42071200) × R
    0.00038349999999987 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 365.322695161307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61006831-2.61045181) × cos(-1.42076933) × R
    0.00038349999999987 × 0.14946482606913 × 6371000     		du = 365.18419604082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42071200)-sin(-1.42076933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.14946482606913)×R²
    abs(2.61045181-2.61006831)×5.66857689318079e-05×R²
    0.00038349999999987×5.66857689318079e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.66857689318079e-05×40589641000000     		ar = 133408.612847453m²