Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14998 / 14922
↖ ↑ ↗
← S 81.341463°
E149.545898°		 ← 367.82 m → S 81.341463°
E149.567871°		 →
↑
367.73 m
↓
↑
367.73 m
↓
S 81.344770°
E149.545898°		 ← 367.69 m →
135 236 m²		 S 81.344770°
E149.567871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915435791015625 y=0.910797119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915435791015625 × 214)
    floor (0.915435791015625 × 16384)
    floor (14998.5)     		tx = 14998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910797119140625 × 214)
    floor (0.910797119140625 × 16384)
    floor (14922.5)     		ty = 14922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14998 / 14922 ti = "14/14998/14922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14998/14922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14998 ÷ 214
    14998 ÷ 16384     		x = 0.9154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14922 ÷ 214
    14922 ÷ 16384     		y = 0.9107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61006831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61006831} λ = 2.61006831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58092267554382))-π/2
    2×atan(0.0757041214469057)-π/2
    2×0.0755599937470758-π/2
    0.151119987494152-1.57079632675     		φ = -1.41967634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61006831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41967634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.341463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14998 KachelY 14922 2.61006831 -1.41967634 149.545898 -81.341463
    Oben rechts KachelX + 1 14999 KachelY 14922 2.61045181 -1.41967634 149.567871 -81.341463
    Unten links KachelX 14998 KachelY + 1 14923 2.61006831 -1.41973406 149.545898 -81.344770
    Unten rechts KachelX + 1 14999 KachelY + 1 14923 2.61045181 -1.41973406 149.567871 -81.344770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41967634--1.41973406) × R
    5.77199999998168e-05 × 6371000     		dl = 367.734119998833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41967634--1.41973406) × R
    5.77199999998168e-05 × 6371000     		dr = 367.734119998833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61006831-2.61045181) × cos(-1.41967634) × R
    0.00038349999999987 × 0.150545449067169 × 6371000     		do = 367.824458978535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61006831-2.61045181) × cos(-1.41973406) × R
    0.00038349999999987 × 0.15048838664612 × 6371000     		du = 367.685039592028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41967634)-sin(-1.41973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150545449067169-0.15048838664612)×R²
    abs(2.61045181-2.61006831)×5.70624210490811e-05×R²
    0.00038349999999987×5.70624210490811e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.70624210490811e-05×40589641000000     		ar = 135235.969140066m²