Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14997 / 15781
↖ ↑ ↗
← N 79.478110°
W138.809509°		 ← 55.77 m → N 79.478110°
W138.806763°		 →
↑
55.75 m
↓
↑
55.75 m
↓
N 79.477609°
W138.809509°		 ← 55.78 m →
3 109 m²		 N 79.477609°
W138.806763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114421844482422 y=0.120403289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114421844482422 × 217)
    floor (0.114421844482422 × 131072)
    floor (14997.5)     		tx = 14997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120403289794922 × 217)
    floor (0.120403289794922 × 131072)
    floor (15781.5)     		ty = 15781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14997 / 15781 ti = "17/14997/15781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14997/15781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14997 ÷ 217
    14997 ÷ 131072     		x = 0.114418029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15781 ÷ 217
    15781 ÷ 131072     		y = 0.120399475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114418029785156 × 2 - 1) × π
    -0.771163940429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.42268297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120399475097656 × 2 - 1) × π
    0.759201049804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.38510044059589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42268297} λ = -2.42268297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38510044059589))-π/2
    2×atan(10.8601534104221)-π/2
    2×1.47897551839474-π/2
    2.95795103678948-1.57079632675     		φ = 1.38715471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42268297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.809509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38715471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.478110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14997 KachelY 15781 -2.42268297 1.38715471 -138.809509 79.478110
    Oben rechts KachelX + 1 14998 KachelY 15781 -2.42263503 1.38715471 -138.806763 79.478110
    Unten links KachelX 14997 KachelY + 1 15782 -2.42268297 1.38714596 -138.809509 79.477609
    Unten rechts KachelX + 1 14998 KachelY + 1 15782 -2.42263503 1.38714596 -138.806763 79.477609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38715471-1.38714596) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dl = 55.7462499993042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38715471-1.38714596) × R
    8.74999999989079e-06 × 6371000     		dr = 55.7462499993042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42268297--2.42263503) × cos(1.38715471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182611160134619 × 6371000     		do = 55.7741487163381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42268297--2.42263503) × cos(1.38714596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182619762998247 × 6371000     		du = 55.7767762523278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38715471)-sin(1.38714596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182611160134619-0.182619762998247)×R²
    abs(-2.42263503--2.42268297)×8.60286362799889e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.60286362799889e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.60286362799889e-06×40589641000000     		ar = 3109.27287560432m²