Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14997 / 14956
↖ ↑ ↗
← S 81.453209°
E149.523926°		 ← 363.10 m → S 81.453209°
E149.545898°		 →
↑
363.02 m
↓
↑
363.02 m
↓
S 81.456474°
E149.523926°		 ← 362.97 m →
131 789 m²		 S 81.456474°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915374755859375 y=0.912872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915374755859375 × 214)
    floor (0.915374755859375 × 16384)
    floor (14997.5)     		tx = 14997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912872314453125 × 214)
    floor (0.912872314453125 × 16384)
    floor (14956.5)     		ty = 14956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14997 / 14956 ti = "14/14997/14956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14997/14956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14997 ÷ 214
    14997 ÷ 16384     		x = 0.91534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14956 ÷ 214
    14956 ÷ 16384     		y = 0.912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91534423828125 × 2 - 1) × π
    0.8306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60968482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.82568359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59396151224048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60968482} λ = 2.60968482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59396151224048))-π/2
    2×atan(0.074723435168152)-π/2
    2×0.0745848241885666-π/2
    0.149169648377133-1.57079632675     		φ = -1.42162668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60968482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42162668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.453209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14997 KachelY 14956 2.60968482 -1.42162668 149.523926 -81.453209
    Oben rechts KachelX + 1 14998 KachelY 14956 2.61006831 -1.42162668 149.545898 -81.453209
    Unten links KachelX 14997 KachelY + 1 14957 2.60968482 -1.42168366 149.523926 -81.456474
    Unten rechts KachelX + 1 14998 KachelY + 1 14957 2.61006831 -1.42168366 149.545898 -81.456474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42162668--1.42168366) × R
    5.69800000000953e-05 × 6371000     		dl = 363.019580000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42162668--1.42168366) × R
    5.69800000000953e-05 × 6371000     		dr = 363.019580000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60968482-2.61006831) × cos(-1.42162668) × R
    0.000383489999999931 × 0.148617051816489 × 6371000     		do = 363.103379044177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60968482-2.61006831) × cos(-1.42168366) × R
    0.000383489999999931 × 0.148560704348219 × 6371000     		du = 362.96571007632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42162668)-sin(-1.42168366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148617051816489-0.148560704348219)×R²
    abs(2.61006831-2.60968482)×5.63474682706289e-05×R²
    0.000383489999999931×5.63474682706289e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.63474682706289e-05×40589641000000     		ar = 131788.647927778m²