Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14997 / 14955
↖ ↑ ↗
← S 81.449942°
E149.523926°		 ← 363.24 m → S 81.449942°
E149.545898°		 →
↑
363.21 m
↓
↑
363.21 m
↓
S 81.453209°
E149.523926°		 ← 363.10 m →
131 908 m²		 S 81.453209°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915374755859375 y=0.912811279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915374755859375 × 214)
    floor (0.915374755859375 × 16384)
    floor (14997.5)     		tx = 14997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912811279296875 × 214)
    floor (0.912811279296875 × 16384)
    floor (14955.5)     		ty = 14955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14997 / 14955 ti = "14/14997/14955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14997/14955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14997 ÷ 214
    14997 ÷ 16384     		x = 0.91534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14955 ÷ 214
    14955 ÷ 16384     		y = 0.91278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91534423828125 × 2 - 1) × π
    0.8306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60968482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.8255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59357801704352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60968482} λ = 2.60968482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59357801704352))-π/2
    2×atan(0.0747520967420761)-π/2
    2×0.0746133265558564-π/2
    0.149226653111713-1.57079632675     		φ = -1.42156967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60968482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42156967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.449942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14997 KachelY 14955 2.60968482 -1.42156967 149.523926 -81.449942
    Oben rechts KachelX + 1 14998 KachelY 14955 2.61006831 -1.42156967 149.545898 -81.449942
    Unten links KachelX 14997 KachelY + 1 14956 2.60968482 -1.42162668 149.523926 -81.453209
    Unten rechts KachelX + 1 14998 KachelY + 1 14956 2.61006831 -1.42162668 149.545898 -81.453209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42156967--1.42162668) × R
    5.7009999999913e-05 × 6371000     		dl = 363.210709999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42156967--1.42162668) × R
    5.7009999999913e-05 × 6371000     		dr = 363.210709999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60968482-2.61006831) × cos(-1.42156967) × R
    0.000383489999999931 × 0.148673428468832 × 6371000     		do = 363.241119314992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60968482-2.61006831) × cos(-1.42162668) × R
    0.000383489999999931 × 0.148617051816489 × 6371000     		du = 363.103379044177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42156967)-sin(-1.42162668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148673428468832-0.148617051816489)×R²
    abs(2.61006831-2.60968482)×5.63766523429543e-05×R²
    0.000383489999999931×5.63766523429543e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.63766523429543e-05×40589641000000     		ar = 131908.050512609m²