Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14997 / 10395
↖ ↑ ↗
← N 54.807017°
W 15.238037°		 ← 704.07 m → N 54.807017°
W 15.227051°		 →
↑
704.12 m
↓
↑
704.12 m
↓
N 54.800685°
W 15.238037°		 ← 704.18 m →
495 791 m²		 N 54.800685°
W 15.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457687377929688 y=0.317245483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457687377929688 × 215)
    floor (0.457687377929688 × 32768)
    floor (14997.5)     		tx = 14997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317245483398438 × 215)
    floor (0.317245483398438 × 32768)
    floor (10395.5)     		ty = 10395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14997 / 10395 ti = "15/14997/10395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14997/10395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14997 ÷ 215
    14997 ÷ 32768     		x = 0.457672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10395 ÷ 215
    10395 ÷ 32768     		y = 0.317230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.08465576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26595392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317230224609375 × 2 - 1) × π
    0.36553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14837636729807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26595392} λ = -0.26595392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14837636729807))-π/2
    2×atan(3.15306932493801)-π/2
    2×1.26367961451956-π/2
    2.52735922903911-1.57079632675     		φ = 0.95656290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26595392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.238037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95656290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.807017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14997 KachelY 10395 -0.26595392 0.95656290 -15.238037 54.807017
    Oben rechts KachelX + 1 14998 KachelY 10395 -0.26576217 0.95656290 -15.227051 54.807017
    Unten links KachelX 14997 KachelY + 1 10396 -0.26595392 0.95645238 -15.238037 54.800685
    Unten rechts KachelX + 1 14998 KachelY + 1 10396 -0.26576217 0.95645238 -15.227051 54.800685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95656290-0.95645238) × R
    0.000110520000000003 × 6371000     		dl = 704.122920000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95656290-0.95645238) × R
    0.000110520000000003 × 6371000     		dr = 704.122920000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26595392--0.26576217) × cos(0.95656290) × R
    0.000191749999999991 × 0.576332236187332 × 6371000     		do = 704.07008076668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26595392--0.26576217) × cos(0.95645238) × R
    0.000191749999999991 × 0.576422551323008 × 6371000     		du = 704.180413281291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95656290)-sin(0.95645238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576332236187332-0.576422551323008)×R²
    abs(-0.26576217--0.26595392)×9.03151356758114e-05×R²
    0.000191749999999991×9.03151356758114e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.03151356758114e-05×40589641000000     		ar = 495790.725484627m²