Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14996 / 14911
↖ ↑ ↗
← S 81.305000°
E149.501953°		 ← 369.36 m → S 81.305000°
E149.523926°		 →
↑
369.26 m
↓
↑
369.26 m
↓
S 81.308321°
E149.501953°		 ← 369.22 m →
136 366 m²		 S 81.308321°
E149.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915313720703125 y=0.910125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915313720703125 × 214)
    floor (0.915313720703125 × 16384)
    floor (14996.5)     		tx = 14996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910125732421875 × 214)
    floor (0.910125732421875 × 16384)
    floor (14911.5)     		ty = 14911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14996 / 14911 ti = "14/14996/14911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14996/14911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14996 ÷ 214
    14996 ÷ 16384     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14911 ÷ 214
    14911 ÷ 16384     		y = 0.91009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.8201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57670422837726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57670422837726))-π/2
    2×atan(0.07602414982033)-π/2
    2×0.0758781907771362-π/2
    0.151756381554272-1.57079632675     		φ = -1.41903995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41903995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.305000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14996 KachelY 14911 2.60930132 -1.41903995 149.501953 -81.305000
    Oben rechts KachelX + 1 14997 KachelY 14911 2.60968482 -1.41903995 149.523926 -81.305000
    Unten links KachelX 14996 KachelY + 1 14912 2.60930132 -1.41909791 149.501953 -81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 14997 KachelY + 1 14912 2.60968482 -1.41909791 149.523926 -81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41903995--1.41909791) × R
    5.79600000001346e-05 × 6371000     		dl = 369.263160000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41903995--1.41909791) × R
    5.79600000001346e-05 × 6371000     		dr = 369.263160000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.60968482) × cos(-1.41903995) × R
    0.00038349999999987 × 0.151174555659704 × 6371000     		do = 369.361541590283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.60968482) × cos(-1.41909791) × R
    0.00038349999999987 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 369.221556087861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41903995)-sin(-1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151174555659704-0.151117261535263)×R²
    abs(2.60968482-2.60930132)×5.72941244407488e-05×R²
    0.00038349999999987×5.72941244407488e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.72941244407488e-05×40589641000000     		ar = 136365.764322904m²