Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14996 / 14706
↖ ↑ ↗
← S 80.596910°
E149.501953°		 ← 399.18 m → S 80.596910°
E149.523926°		 →
↑
399.08 m
↓
↑
399.08 m
↓
S 80.600499°
E149.501953°		 ← 399.03 m →
159 275 m²		 S 80.600499°
E149.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915313720703125 y=0.897613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915313720703125 × 214)
    floor (0.915313720703125 × 16384)
    floor (14996.5)     		tx = 14996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897613525390625 × 214)
    floor (0.897613525390625 × 16384)
    floor (14706.5)     		ty = 14706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14996 / 14706 ti = "14/14996/14706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14996/14706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14996 ÷ 214
    14996 ÷ 16384     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14706 ÷ 214
    14706 ÷ 16384     		y = 0.8975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.49808771300037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49808771300037))-π/2
    2×atan(0.0822421188812647)-π/2
    2×0.0820574456036564-π/2
    0.164114891207313-1.57079632675     		φ = -1.40668144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40668144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.596910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14996 KachelY 14706 2.60930132 -1.40668144 149.501953 -80.596910
    Oben rechts KachelX + 1 14997 KachelY 14706 2.60968482 -1.40668144 149.523926 -80.596910
    Unten links KachelX 14996 KachelY + 1 14707 2.60930132 -1.40674408 149.501953 -80.600499
    Unten rechts KachelX + 1 14997 KachelY + 1 14707 2.60968482 -1.40674408 149.523926 -80.600499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40668144--1.40674408) × R
    6.26399999998917e-05 × 6371000     		dl = 399.07943999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40668144--1.40674408) × R
    6.26399999998917e-05 × 6371000     		dr = 399.07943999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.60968482) × cos(-1.40668144) × R
    0.00038349999999987 × 0.163379174852689 × 6371000     		do = 399.180825265181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.60968482) × cos(-1.40674408) × R
    0.00038349999999987 × 0.163317376203902 × 6371000     		du = 399.02983395527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40668144)-sin(-1.40674408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163379174852689-0.163317376203902)×R²
    abs(2.60968482-2.60930132)×6.17986487873312e-05×R²
    0.00038349999999987×6.17986487873312e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.17986487873312e-05×40589641000000     		ar = 159274.731493209m²