Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14996 / 10387
↖ ↑ ↗
← N 54.857640°
W 15.249024°		 ← 703.19 m → N 54.857640°
W 15.238037°		 →
↑
703.23 m
↓
↑
703.23 m
↓
N 54.851315°
W 15.249024°		 ← 703.30 m →
494 542 m²		 N 54.851315°
W 15.238037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457656860351562 y=0.317001342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457656860351562 × 215)
    floor (0.457656860351562 × 32768)
    floor (14996.5)     		tx = 14996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317001342773438 × 215)
    floor (0.317001342773438 × 32768)
    floor (10387.5)     		ty = 10387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14996 / 10387 ti = "15/14996/10387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14996/10387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14996 ÷ 215
    14996 ÷ 32768     		x = 0.4576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10387 ÷ 215
    10387 ÷ 32768     		y = 0.316986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.084716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26614567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316986083984375 × 2 - 1) × π
    0.36602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14991034808591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26614567} λ = -0.26614567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14991034808591))-π/2
    2×atan(3.15790978434189)-π/2
    2×1.26412137879536-π/2
    2.52824275759072-1.57079632675     		φ = 0.95744643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26614567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.249024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95744643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.857640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14996 KachelY 10387 -0.26614567 0.95744643 -15.249024 54.857640
    Oben rechts KachelX + 1 14997 KachelY 10387 -0.26595392 0.95744643 -15.238037 54.857640
    Unten links KachelX 14996 KachelY + 1 10388 -0.26614567 0.95733605 -15.249024 54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 14997 KachelY + 1 10388 -0.26595392 0.95733605 -15.238037 54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95744643-0.95733605) × R
    0.000110379999999966 × 6371000     		dl = 703.23097999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95744643-0.95733605) × R
    0.000110379999999966 × 6371000     		dr = 703.23097999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26614567--0.26595392) × cos(0.95744643) × R
    0.000191749999999991 × 0.575609976931583 × 6371000     		do = 703.187740511181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26614567--0.26595392) × cos(0.95733605) × R
    0.000191749999999991 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 703.298001894842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95744643)-sin(0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575609976931583-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.26595392--0.26614567)×9.02569098534256e-05×R²
    0.000191749999999991×9.02569098534256e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.02569098534256e-05×40589641000000     		ar = 494542.17399568m²