Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14995 / 14686
↖ ↑ ↗
← S 80.524840°
E149.479980°		 ← 402.21 m → S 80.524840°
E149.501953°		 →
↑
402.14 m
↓
↑
402.14 m
↓
S 80.528456°
E149.479980°		 ← 402.06 m →
161 714 m²		 S 80.528456°
E149.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915252685546875 y=0.896392822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915252685546875 × 214)
    floor (0.915252685546875 × 16384)
    floor (14995.5)     		tx = 14995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896392822265625 × 214)
    floor (0.896392822265625 × 16384)
    floor (14686.5)     		ty = 14686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14995 / 14686 ti = "14/14995/14686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14995/14686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14995 ÷ 214
    14995 ÷ 16384     		x = 0.91522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14686 ÷ 214
    14686 ÷ 16384     		y = 0.8963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    0.8304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60891782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49041780906116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60891782} λ = 2.60891782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49041780906116))-π/2
    2×atan(0.0828753332754344)-π/2
    2×0.0826863732422862-π/2
    0.165372746484572-1.57079632675     		φ = -1.40542358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60891782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40542358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.524840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14995 KachelY 14686 2.60891782 -1.40542358 149.479980 -80.524840
    Oben rechts KachelX + 1 14996 KachelY 14686 2.60930132 -1.40542358 149.501953 -80.524840
    Unten links KachelX 14995 KachelY + 1 14687 2.60891782 -1.40548670 149.479980 -80.528456
    Unten rechts KachelX + 1 14996 KachelY + 1 14687 2.60930132 -1.40548670 149.501953 -80.528456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40542358--1.40548670) × R
    6.31200000000831e-05 × 6371000     		dl = 402.137520000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40542358--1.40548670) × R
    6.31200000000831e-05 × 6371000     		dr = 402.137520000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60891782-2.60930132) × cos(-1.40542358) × R
    0.000383500000000314 × 0.164620003851726 × 6371000     		do = 402.212516081168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60891782-2.60930132) × cos(-1.40548670) × R
    0.000383500000000314 × 0.164557744666061 × 6371000     		du = 402.060399551406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40542358)-sin(-1.40548670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164620003851726-0.164557744666061)×R²
    abs(2.60930132-2.60891782)×6.22591856646593e-05×R²
    0.000383500000000314×6.22591856646593e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.22591856646593e-05×40589641000000     		ar = 161714.157901816m²