Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14994 / 7542
↖ ↑ ↗
← N 69.201603°
W 15.270996°		 ← 433.78 m → N 69.201603°
W 15.260010°		 →
↑
433.80 m
↓
↑
433.80 m
↓
N 69.197702°
W 15.270996°		 ← 433.86 m →
188 192 m²		 N 69.197702°
W 15.260010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457595825195312 y=0.230178833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457595825195312 × 215)
    floor (0.457595825195312 × 32768)
    floor (14994.5)     		tx = 14994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230178833007812 × 215)
    floor (0.230178833007812 × 32768)
    floor (7542.5)     		ty = 7542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14994 / 7542 ti = "15/14994/7542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14994/7542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14994 ÷ 215
    14994 ÷ 32768     		x = 0.45758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7542 ÷ 215
    7542 ÷ 32768     		y = 0.23016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.0848388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26652916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23016357421875 × 2 - 1) × π
    0.5396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69543226576215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26652916} λ = -0.26652916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69543226576215))-π/2
    2×atan(5.44900087271837)-π/2
    2×1.38929607541529-π/2
    2.77859215083058-1.57079632675     		φ = 1.20779582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26652916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.270996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20779582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.201603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14994 KachelY 7542 -0.26652916 1.20779582 -15.270996 69.201603
    Oben rechts KachelX + 1 14995 KachelY 7542 -0.26633741 1.20779582 -15.260010 69.201603
    Unten links KachelX 14994 KachelY + 1 7543 -0.26652916 1.20772773 -15.270996 69.197702
    Unten rechts KachelX + 1 14995 KachelY + 1 7543 -0.26633741 1.20772773 -15.260010 69.197702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20779582-1.20772773) × R
    6.80900000000761e-05 × 6371000     		dl = 433.801390000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20779582-1.20772773) × R
    6.80900000000761e-05 × 6371000     		dr = 433.801390000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26652916--0.26633741) × cos(1.20779582) × R
    0.000191749999999991 × 0.355080808071692 × 6371000     		do = 433.780652062074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26652916--0.26633741) × cos(1.20772773) × R
    0.000191749999999991 × 0.355144460205279 × 6371000     		du = 433.858412006811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20779582)-sin(1.20772773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355080808071692-0.355144460205279)×R²
    abs(-0.26633741--0.26652916)×6.36521335877771e-05×R²
    0.000191749999999991×6.36521335877771e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.36521335877771e-05×40589641000000     		ar = 188191.516078285m²