Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14994 / 14854
↖ ↑ ↗
← S 81.113602°
E149.458008°		 ← 377.42 m → S 81.113602°
E149.479980°		 →
↑
377.35 m
↓
↑
377.35 m
↓
S 81.116996°
E149.458008°		 ← 377.27 m →
142 393 m²		 S 81.116996°
E149.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915191650390625 y=0.906646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915191650390625 × 214)
    floor (0.915191650390625 × 16384)
    floor (14994.5)     		tx = 14994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906646728515625 × 214)
    floor (0.906646728515625 × 16384)
    floor (14854.5)     		ty = 14854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14994 / 14854 ti = "14/14994/14854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14994/14854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14994 ÷ 214
    14994 ÷ 16384     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14854 ÷ 214
    14854 ÷ 16384     		y = 0.9066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55484500215051))-π/2
    2×atan(0.0777042751294949)-π/2
    2×0.0775484476460636-π/2
    0.155096895292127-1.57079632675     		φ = -1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14994 KachelY 14854 2.60853433 -1.41569943 149.458008 -81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 14995 KachelY 14854 2.60891782 -1.41569943 149.479980 -81.113602
    Unten links KachelX 14994 KachelY + 1 14855 2.60853433 -1.41575866 149.458008 -81.116996
    Unten rechts KachelX + 1 14995 KachelY + 1 14855 2.60891782 -1.41575866 149.479980 -81.116996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41569943--1.41575866) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dl = 377.354329999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41569943--1.41575866) × R
    5.92299999999657e-05 × 6371000     		dr = 377.354329999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60891782) × cos(-1.41569943) × R
    0.000383489999999931 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 377.417641634667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60891782) × cos(-1.41575866) × R
    0.000383489999999931 × 0.154417314409303 × 6371000     		du = 377.274666396822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41569943)-sin(-1.41575866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.154417314409303)×R²
    abs(2.60891782-2.60853433)×5.85193076064749e-05×R²
    0.000383489999999931×5.85193076064749e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.85193076064749e-05×40589641000000     		ar = 142393.205167341m²