Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14993 / 13958
↖ ↑ ↗
← N 25.740529°
W 15.281982°		 ← 1 100.42 m → N 25.740529°
W 15.270996°		 →
↑
1 100.40 m
↓
↑
1 100.40 m
↓
N 25.730633°
W 15.281982°		 ← 1 100.51 m →
1 210 947 m²		 N 25.730633°
W 15.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457565307617188 y=0.425979614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457565307617188 × 215)
    floor (0.457565307617188 × 32768)
    floor (14993.5)     		tx = 14993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425979614257812 × 215)
    floor (0.425979614257812 × 32768)
    floor (13958.5)     		ty = 13958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14993 / 13958 ti = "15/14993/13958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14993/13958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14993 ÷ 215
    14993 ÷ 32768     		x = 0.457550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13958 ÷ 215
    13958 ÷ 32768     		y = 0.42596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.08489990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26672091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26672091} λ = -0.26672091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465179673913025))-π/2
    2×atan(1.59230025800482)-π/2
    2×1.0100266553286-π/2
    2.0200533106572-1.57079632675     		φ = 0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26672091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.281982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14993 KachelY 13958 -0.26672091 0.44925698 -15.281982 25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 14994 KachelY 13958 -0.26652916 0.44925698 -15.270996 25.740529
    Unten links KachelX 14993 KachelY + 1 13959 -0.26672091 0.44908426 -15.281982 25.730633
    Unten rechts KachelX + 1 14994 KachelY + 1 13959 -0.26652916 0.44908426 -15.270996 25.730633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44925698-0.44908426) × R
    0.00017271999999996 × 6371000     		dl = 1100.39911999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44925698-0.44908426) × R
    0.00017271999999996 × 6371000     		dr = 1100.39911999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26672091--0.26652916) × cos(0.44925698) × R
    0.000191749999999991 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 1100.41603835448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26672091--0.26652916) × cos(0.44908426) × R
    0.000191749999999991 × 0.900845040086889 × 6371000     		du = 1100.50765913791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44925698)-sin(0.44908426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.900845040086889)×R²
    abs(-0.26652916--0.26672091)×7.49982316244902e-05×R²
    0.000191749999999991×7.49982316244902e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.49982316244902e-05×40589641000000     		ar = 1210947.25296415m²