Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14992 / 6929
↖ ↑ ↗
← N 71.465632°
W 15.292969°		 ← 388.33 m → N 71.465632°
W 15.281982°		 →
↑
388.31 m
↓
↑
388.31 m
↓
N 71.462140°
W 15.292969°		 ← 388.40 m →
150 806 m²		 N 71.462140°
W 15.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457534790039062 y=0.211471557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457534790039062 × 215)
    floor (0.457534790039062 × 32768)
    floor (14992.5)     		tx = 14992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211471557617188 × 215)
    floor (0.211471557617188 × 32768)
    floor (6929.5)     		ty = 6929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14992 / 6929 ti = "15/14992/6929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14992/6929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14992 ÷ 215
    14992 ÷ 32768     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6929 ÷ 215
    6929 ÷ 32768     		y = 0.211456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211456298828125 × 2 - 1) × π
    0.57708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81297354363052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81297354363052))-π/2
    2×atan(6.12864415523938)-π/2
    2×1.40905345574088-π/2
    2.81810691148176-1.57079632675     		φ = 1.24731058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24731058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.465632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14992 KachelY 6929 -0.26691266 1.24731058 -15.292969 71.465632
    Oben rechts KachelX + 1 14993 KachelY 6929 -0.26672091 1.24731058 -15.281982 71.465632
    Unten links KachelX 14992 KachelY + 1 6930 -0.26691266 1.24724963 -15.292969 71.462140
    Unten rechts KachelX + 1 14993 KachelY + 1 6930 -0.26672091 1.24724963 -15.281982 71.462140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24731058-1.24724963) × R
    6.09499999999485e-05 × 6371000     		dl = 388.312449999672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24731058-1.24724963) × R
    6.09499999999485e-05 × 6371000     		dr = 388.312449999672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26672091) × cos(1.24731058) × R
    0.000191750000000046 × 0.317873437174094 × 6371000     		do = 388.326667384375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26672091) × cos(1.24724963) × R
    0.000191750000000046 × 0.317931225299367 × 6371000     		du = 388.397263626393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24731058)-sin(1.24724963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317873437174094-0.317931225299367)×R²
    abs(-0.26672091--0.26691266)×5.77881252732948e-05×R²
    0.000191750000000046×5.77881252732948e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.77881252732948e-05×40589641000000     		ar = 150805.786359131m²