Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14992 / 14703
↖ ↑ ↗
← S 80.586133°
E149.414063°		 ← 399.62 m → S 80.586133°
E149.436035°		 →
↑
399.59 m
↓
↑
399.59 m
↓
S 80.589727°
E149.414063°		 ← 399.47 m →
159 655 m²		 S 80.589727°
E149.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915069580078125 y=0.897430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915069580078125 × 214)
    floor (0.915069580078125 × 16384)
    floor (14992.5)     		tx = 14992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897430419921875 × 214)
    floor (0.897430419921875 × 16384)
    floor (14703.5)     		ty = 14703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14992 / 14703 ti = "14/14992/14703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14992/14703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14992 ÷ 214
    14992 ÷ 16384     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14703 ÷ 214
    14703 ÷ 16384     		y = 0.89739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.7947998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49693722740948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49693722740948))-π/2
    2×atan(0.0823367917034174)-π/2
    2×0.0821514816554953-π/2
    0.164302963310991-1.57079632675     		φ = -1.40649336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40649336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.586133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14992 KachelY 14703 2.60776734 -1.40649336 149.414063 -80.586133
    Oben rechts KachelX + 1 14993 KachelY 14703 2.60815083 -1.40649336 149.436035 -80.586133
    Unten links KachelX 14992 KachelY + 1 14704 2.60776734 -1.40655608 149.414063 -80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 14993 KachelY + 1 14704 2.60815083 -1.40655608 149.436035 -80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40649336--1.40655608) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dl = 399.589120000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40649336--1.40655608) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dr = 399.589120000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.60815083) × cos(-1.40649336) × R
    0.000383489999999931 × 0.163564724796927 × 6371000     		do = 399.62375474606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.60815083) × cos(-1.40655608) × R
    0.000383489999999931 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 399.472579250993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40649336)-sin(-1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163564724796927-0.163502849150264)×R²
    abs(2.60815083-2.60776734)×6.18756466627679e-05×R²
    0.000383489999999931×6.18756466627679e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.18756466627679e-05×40589641000000     		ar = 159655.100501245m²