Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14991 / 14738
↖ ↑ ↗
← S 80.711093°
E149.392090°		 ← 394.38 m → S 80.711093°
E149.414063°		 →
↑
394.30 m
↓
↑
394.30 m
↓
S 80.714639°
E149.392090°		 ← 394.23 m →
155 474 m²		 S 80.714639°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915008544921875 y=0.899566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915008544921875 × 214)
    floor (0.915008544921875 × 16384)
    floor (14991.5)     		tx = 14991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899566650390625 × 214)
    floor (0.899566650390625 × 16384)
    floor (14738.5)     		ty = 14738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14991 / 14738 ti = "14/14991/14738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14991/14738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14991 ÷ 214
    14991 ÷ 16384     		x = 0.91497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14738 ÷ 214
    14738 ÷ 16384     		y = 0.8995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91497802734375 × 2 - 1) × π
    0.8299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60738384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5103595593031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60738384} λ = 2.60738384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5103595593031))-π/2
    2×atan(0.081239023742093)-π/2
    2×0.081061008262834-π/2
    0.162122016525668-1.57079632675     		φ = -1.40867431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60738384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40867431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.711093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14991 KachelY 14738 2.60738384 -1.40867431 149.392090 -80.711093
    Oben rechts KachelX + 1 14992 KachelY 14738 2.60776734 -1.40867431 149.414063 -80.711093
    Unten links KachelX 14991 KachelY + 1 14739 2.60738384 -1.40873620 149.392090 -80.714639
    Unten rechts KachelX + 1 14992 KachelY + 1 14739 2.60776734 -1.40873620 149.414063 -80.714639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40867431--1.40873620) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dl = 394.301190000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40867431--1.40873620) × R
    6.18900000000089e-05 × 6371000     		dr = 394.301190000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60738384-2.60776734) × cos(-1.40867431) × R
    0.000383500000000314 × 0.161412759216488 × 6371000     		do = 394.376324219645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60738384-2.60776734) × cos(-1.40873620) × R
    0.000383500000000314 × 0.16135168047189 × 6371000     		du = 394.227091836161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40867431)-sin(-1.40873620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161412759216488-0.16135168047189)×R²
    abs(2.60776734-2.60738384)×6.10787445981253e-05×R²
    0.000383500000000314×6.10787445981253e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.10787445981253e-05×40589641000000     		ar = 155473.632744508m²