Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14990 / 10367
↖ ↑ ↗
← N 54.983918°
W 15.314941°		 ← 700.98 m → N 54.983918°
W 15.303955°		 →
↑
701.06 m
↓
↑
701.06 m
↓
N 54.977613°
W 15.314941°		 ← 701.09 m →
491 474 m²		 N 54.977613°
W 15.303955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457473754882812 y=0.316390991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457473754882812 × 215)
    floor (0.457473754882812 × 32768)
    floor (14990.5)     		tx = 14990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316390991210938 × 215)
    floor (0.316390991210938 × 32768)
    floor (10367.5)     		ty = 10367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14990 / 10367 ti = "15/14990/10367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14990/10367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14990 ÷ 215
    14990 ÷ 32768     		x = 0.45745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10367 ÷ 215
    10367 ÷ 32768     		y = 0.316375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0850830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26729615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316375732421875 × 2 - 1) × π
    0.36724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15374530005551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26729615} λ = -0.26729615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15374530005551))-π/2
    2×atan(3.17004346786526)-π/2
    2×1.26522336742251-π/2
    2.53044673484502-1.57079632675     		φ = 0.95965041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26729615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.314941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95965041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.983918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14990 KachelY 10367 -0.26729615 0.95965041 -15.314941 54.983918
    Oben rechts KachelX + 1 14991 KachelY 10367 -0.26710440 0.95965041 -15.303955 54.983918
    Unten links KachelX 14990 KachelY + 1 10368 -0.26729615 0.95954037 -15.314941 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 14991 KachelY + 1 10368 -0.26710440 0.95954037 -15.303955 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95965041-0.95954037) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dl = 701.064839999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95965041-0.95954037) × R
    0.000110039999999922 × 6371000     		dr = 701.064839999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26729615--0.26710440) × cos(0.95965041) × R
    0.000191749999999991 × 0.573806332201139 × 6371000     		do = 700.984337315415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26729615--0.26710440) × cos(0.95954037) × R
    0.000191749999999991 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 701.094429365101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95965041)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573806332201139-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.26710440--0.26729615)×9.01182977589565e-05×R²
    0.000191749999999991×9.01182977589565e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.01182977589565e-05×40589641000000     		ar = 491474.063610283m²