Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1499 / 1762
↖ ↑ ↗
← N 24.367114°
W 48.251953°		 ← 8 902.42 m → N 24.367114°
W 48.164062°		 →
↑
8 905.26 m
↓
↑
8 905.26 m
↓
N 24.287027°
W 48.251953°		 ← 8 908.04 m →
79 303 358 m²		 N 24.287027°
W 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3660888671875 y=0.4302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3660888671875 × 212)
    floor (0.3660888671875 × 4096)
    floor (1499.5)     		tx = 1499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4302978515625 × 212)
    floor (0.4302978515625 × 4096)
    floor (1762.5)     		ty = 1762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1499 / 1762 ti = "12/1499/1762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1499/1762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1499 ÷ 212
    1499 ÷ 4096     		x = 0.365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1762 ÷ 212
    1762 ÷ 4096     		y = 0.43017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.26806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84215545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84215545} λ = -0.84215545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438718505322754))-π/2
    2×atan(1.55071870688116)-π/2
    2×0.998041343829552-π/2
    1.9960826876591-1.57079632675     		φ = 0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84215545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1499 KachelY 1762 -0.84215545 0.42528636 -48.251953 24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 1500 KachelY 1762 -0.84062147 0.42528636 -48.164062 24.367114
    Unten links KachelX 1499 KachelY + 1 1763 -0.84215545 0.42388858 -48.251953 24.287027
    Unten rechts KachelX + 1 1500 KachelY + 1 1763 -0.84062147 0.42388858 -48.164062 24.287027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42528636-0.42388858) × R
    0.00139777999999996 × 6371000     		dl = 8905.25637999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42528636-0.42388858) × R
    0.00139777999999996 × 6371000     		dr = 8905.25637999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84215545--0.84062147) × cos(0.42528636) × R
    0.00153398000000005 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 8902.41502815912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84215545--0.84062147) × cos(0.42388858) × R
    0.00153398000000005 × 0.911496431740683 × 6371000     		du = 8908.04239511984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42528636)-sin(0.42388858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.911496431740683)×R²
    abs(-0.84062147--0.84215545)×0.000575808317616833×R²
    0.00153398000000005×0.000575808317616833×6371000²
    0.00153398000000005×0.000575808317616833×40589641000000     		ar = 79303357.7115203m²