Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1499 / 1761
↖ ↑ ↗
← N 24.447149°
W 48.251953°		 ← 8 896.77 m → N 24.447149°
W 48.164062°		 →
↑
8 899.59 m
↓
↑
8 899.59 m
↓
N 24.367114°
W 48.251953°		 ← 8 902.42 m →
79 202 721 m²		 N 24.367114°
W 48.164062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3660888671875 y=0.4300537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3660888671875 × 212)
    floor (0.3660888671875 × 4096)
    floor (1499.5)     		tx = 1499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4300537109375 × 212)
    floor (0.4300537109375 × 4096)
    floor (1761.5)     		ty = 1761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1499 / 1761 ti = "12/1499/1761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1499/1761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1499 ÷ 212
    1499 ÷ 4096     		x = 0.365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1761 ÷ 212
    1761 ÷ 4096     		y = 0.429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.26806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84215545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440252486110596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84215545} λ = -0.84215545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440252486110596))-π/2
    2×atan(1.55309930501395)-π/2
    2×0.998739789925913-π/2
    1.99747957985183-1.57079632675     		φ = 0.42668325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84215545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42668325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.447149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1499 KachelY 1761 -0.84215545 0.42668325 -48.251953 24.447149
    Oben rechts KachelX + 1 1500 KachelY 1761 -0.84062147 0.42668325 -48.164062 24.447149
    Unten links KachelX 1499 KachelY + 1 1762 -0.84215545 0.42528636 -48.251953 24.367114
    Unten rechts KachelX + 1 1500 KachelY + 1 1762 -0.84062147 0.42528636 -48.164062 24.367114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42668325-0.42528636) × R
    0.00139689000000004 × 6371000     		dl = 8899.58619000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42668325-0.42528636) × R
    0.00139689000000004 × 6371000     		dr = 8899.58619000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84215545--0.84062147) × cos(0.42668325) × R
    0.00153398000000005 × 0.910343403689266 × 6371000     		do = 8896.77386744699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84215545--0.84062147) × cos(0.42528636) × R
    0.00153398000000005 × 0.910920623423066 × 6371000     		du = 8902.41502815912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42668325)-sin(0.42528636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910343403689266-0.910920623423066)×R²
    abs(-0.84062147--0.84215545)×0.000577219733799761×R²
    0.00153398000000005×0.000577219733799761×6371000²
    0.00153398000000005×0.000577219733799761×40589641000000     		ar = 79202720.7233055m²